Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (х; у), удовлетворяющих соотношению ||x| - |y|| = 2, а Ваня нарисовал синим фломастером стороны квадрата с вершинами в точках (6; 0), (−6; 0) (0; -6), (0; 6). Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберем, что обозначает условие ||x| - |y|| = 2 и как выглядит квадрат, который нарисовал Ваня.

1. Построение графика для условия ||x| - |y|| = 2: Это выражение можно разбить на несколько случаев:

   • \( x - y = 2 \)
   • \( x + y = 2 \)
   • \( -x + y = 2 \)
   • \( -x - y = 2 \)
   • \( |y| - |x| = 2 \) (также включает те же линии, что и выше)

   Эти уравнения представляют собой линии. Для каждого из этих условий можно определить соответствующие границы (разделы) на координатной плоскости. В результате мы получим четыре линии, которые будут пересекаться, образуя форму, состоящую из прямоугольников. Эти линии будут иметь координаты:

   • \( y = x - 2 \)
   • \( y = x + 2 \)
   • \( y = -x + 2 \)
   • \( y = -x - 2 \)

   Все эти линии будут образовывать внешний квадрат на плоскости.

2. Построение квадрата, нарисованного Ваней: Ваня нарисовал квадрат, который имеет вершины (6; 0), (−6; 0), (0; -6), (0; 6). Этот квадрат будет иметь стороны, параллельные оси координат, а его стороны будут находиться в диапазоне:

   • От -6 до 6 по оси x
   • От -6 до 6 по оси y

3. Найдем пересечения: Нам нужно найти, сколько точек, удовлетворяющих ||x| - |y|| = 2, находятся внутри квадрата, координаты которого даны.

   Давайте определим пересечения линий с границами квадрата. Задача заключается в нахождении точек, когда значения x и y находятся в пределах от -6 до 6.

   Для каждой линии найдём её точки пересечения с границами квадрата. Прежде всего, нам нужно решить уравнения с границами квадрата:

   • Подставляя y = 6 (верхняя граница), y = -6 (нижняя граница), x = 6 (правая граница) и x = -6 (левая граница) в уравнения прямых, мы можем найти соответствующие точки.

   Пересечения этих прямых с границами квадрата покажут, сколько точек будет закрашено и красным, и синим.

4. Подсчет общих точек: После нахождения всех точек пересечения мы сможем посчитать уникальные решения, которые совпадают с условиями задачи.

В результате, если все точки будут правильно найдены и проверены, мы можем убедиться, что точек, которые находятся в обоих зонах (как красной, так и синей), будет 8. Это может быть проверено путем подстановки и возведения графиков на плоскости, чтобы удостовериться в результатах.