За круглым столом стояли 14 стульев, которые пронумерованы от 1 до 14. В переговорах участвовали президенты пяти стран, каждый со своим переводчиком. Президенты могли сесть только на стулья с нечётными номерами, а переводчики всегда садились рядом со своими президентами. Сколькими способами президенты и их переводчики могли сесть за стол переговоров?
Чтобы решить эту задачу, начнем с рассуждений о расположении президентов и переводчиков.
С席 президентов: Поскольку за столом всего 14 стульев, и президенты могут сидеть только на нечётных стульях, это значит, что президенты могут занять стулья под номерами 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Мы имеем 7 нечётных стульев.
Выбор мест для президентов: Нам нужно выбрать 5 из 7 нечётных стульев для президентов. Это можно сделать следующим образом:
\[ C(7, 5) = \frac{7!}{5!(7 - 5)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]
Расположение президентов: После того, как мы выбрали 5 стульев для президентов, мы можем разместить президентов на этих стульях. Порядок размещения президентов важен, поэтому на 5 выбранных стульях можно разместить 5 президентов различными способами:
\[ 5! = 120 \]
Расположение переводчиков: Каждый президент должен иметь своего переводчика, который будет сидеть рядом с ним. Переводчику нужно занять кресло либо слева, либо справа от президента. Поскольку президенты заняли 5 стульев, тогда у нас будет 5 переводчиков, для которых существует 2 возможности размещения (слева или справа) для каждого из 5 президентов:
\[ 2^5 = 32 \]
Теперь, чтобы узнать общее количество способов, комбинируем все этапы:
\[ \text{Общее количество способов} = C(7, 5) \times 5! \times 2^5 \]
Подставляем значения:
\[ \text{Общее количество способов} = 21 \times 120 \times 32 \]
Теперь произведем вычисления:
\[ 21 \times 120 = 2520 \] \[ 2520 \times 32 = 80640 \]
Таким образом, общее количество способов, которыми президенты и их переводчики могут сесть за стол переговоров, равно 80640.
