докажи тождество: C(N+1,k+1) = (N+1/k+1)*C(N,k)

Доказать тождество \( C(N+1, k+1) = \frac{N+1}{k+1} \cdot C(N, k) \) можно с помощью свойства биномиальных коэффициентов.

Начнем с определения биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь выразим \( C(N+1, k+1) \):

\[ C(N+1, k+1) = \frac{(N+1)!}{(k+1)!(N+1-(k+1))!} = \frac{(N+1)!}{(k+1)!(N-k)!} \]

По свойству факториалов можно записать \( (N+1)! \) как \( (N+1) \cdot N! \):

\[ C(N+1, k+1) = \frac{(N+1) \cdot N!}{(k+1)! \cdot (N-k)!} \]

Теперь как мы выражаем \( C(N, k) \):

\[ C(N, k) = \frac{N!}{k!(N-k)!} \]

Теперь выразим \( C(N, k) \) через \( C(N+1, k+1) \):

\[ C(N, k) = \frac{N!}{k!(N-k)!} = \frac{N!}{k!(N-k)!} \cdot \frac{(k+1)(N-k)}{(k+1)(N-k)} \]

Теперь, перемножив на \((k+1)\):

\[ C(N+1, k+1) = \frac{(N+1) \cdot N!}{(k+1)!(N-k)!} = \frac{(N+1)}{(k+1)} \cdot \frac{N!}{k!(N-k)!} = \frac{(N+1)}{(k+1)} \cdot C(N, k) \]

Таким образом, мы получили:

\[ C(N+1, k+1) = \frac{N+1}{k+1} \cdot C(N, k) \]

Тождество доказано!