Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (х; у), удовлетворяющих соотношению x|-y|= 2, а Ваня нарисовал синим фломастером стороны квадрата с вершинами в точках (6; 0), (-6; 0) (0; -6), (0; 6). Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Начнем с уравнения, заданного Аней: \( x |y| = 2 \).

Это уравнение можно рассмотреть по двум случаям в зависимости от знака \( y \):

1. Когда \( y \geq 0 \): \( x y = 2 \) ⇒ \( y = \frac{2}{x} \) (при \( x \neq 0 \)).
2. Когда \( y < 0 \): \( x (-y) = 2 \) ⇒ \( -xy = 2 \) ⇒ \( y = -\frac{2}{x} \) (при \( x \neq 0 \)).

Таким образом, у нас есть две функции:

• \( y = \frac{2}{x} \) для \( y \geq 0 \)
• \( y = -\frac{2}{x} \) для \( y < 0 \)

Теперь рассмотрим квадрат, нарисованный Ваней с вершинами \( (6, 0) \), \( (-6, 0) \), \( (0, 6) \) и \( (0, -6) \). Этот квадрат ограничен прямыми:

• \( x = 6 \)
• \( x = -6 \)
• \( y = 6 \)
• \( y = -6 \)

Теперь мы хотим найти точки, которые одновременно удовлетворяют уравнениям Aни и Вани и находятся внутри квадрата:

1. График функции \( y = \frac{2}{x} \) в пределах квадрата. Эта функция определена при \( x \neq 0 \):

   • Для \( 2/x \) будет находиться в пределах \( y \) от 0 до 6, когда \( x \) варьируется от 2 до 6, а также от -2 до -6 (но \( y = \frac{2}{x} < 0 \) не имеет значения здесь).
   • Поэтому нам интересуют точки:
     • При \( x = 2 \): \( y = 1 \)
     • При \( x = 6 \): \( y = \frac{1}{3} \)

2. График функции \( y = -\frac{2}{x} \):

   • Здесь \( y < 0 \), и для \( x \) от -6 до -2:
     • При \( x = -2 \): \( y = -1 \)
     • При \( x = -6 \): \( y = -\frac{1}{3} \)

Таким образом, точки, которые удовлетворяют обоим уравнениям и находятся внутри квадрата:

• Для \( y = \frac{2}{x} \): : \( (2, 1) \) и \( (6, \frac{1}{3}) \)
• Для \( y = -\frac{2}{x} \): \( (-2, -1) \) и \( (-6, -\frac{1}{3}) \)

Теперь у нас есть 4 точки:

1. \( (2, 1) \)
2. \( (6, \frac{1}{3}) \)
3. \( (-2, -1) \)
4. \( (-6, -\frac{1}{3}) \)

Итак, количество точек, которые были покрашены и в синий, и в красный цвет, равно 4.