Есть доска 13 × 7. Мотя красит каждую клетку в один из трёх цветов — белый, красный или синий. Когда Мотя закончит, Вова может найти любую одноцветную пару клеток, имеющих общую…

Рассмотрим доску размером 13 × 7, которая состоит из 91 клеток. Мотя красит клетки в один из трех цветов: белый, красный или синий. Вова может перекрашивать пары соседних клеток (по стороне или по вершине) в зелёный цвет. Чтобы найти максимально возможное количество зелёных клеток, нужно учитывать, как Мотя может раскрасить доску.

1. Оптимальное раскрашивание для Вовы: Один из способов раскрашивания, который гарантирует максимальное количество пар для перекрашивания в зелёный цвет, — это чередование цветов. Например:

   1. B R B R B R B R B R B R B R B R B
   2. R B R B R B R B R B R B R B R B
   3. B R B R B R B R B R B R B R B R
   4. R B R B R B R B R B R B R B R B
   5. B R B R B R B R B R B R B R B R
   6. R B R B R B R B R B R B R B R B
   7. B R B R B R B R B R B R B R B R
   

   Так Вова может находить пары клеток для перекрашивания в зелёный цвет.

2. Количество клеток, которые можно перекрасить: Можно визуально оценить, что, поскольку каждые две соседние клетки могут быть перекрашены, максимизируя количество зелёных клеток. Из 13 × 7 = 91 клетки, при таком чередовании почти все клетки будут доступны для формирования пар.

3. Общие пары: Пары клеток по вертикали и горизонтали:

   • В каждой строке из 7 клеток можно перекрасить 6 пар (например, первый и второй, третий и четвёртый и т.д.).
   • В каждой колонне из 13 клеток можно перекрасить 12 пар (например, пара из первой и второй строки, третьей и четвёртой, и т.д.).

   Таким образом, общее количество пар, которые могут быть перекрашены:

   • По горизонтали: 6 пар × 7 строк = 42 пары.
   • По вертикали: 12 пар × 13 столбцов = 156 пар.

   В каждом случае можно найти много перекрытий, но при равномерном раскрашивании Моти, половина клеток минимально может быть перекрашена.

4. Гарантированная сумма: Максимальное количество зелёных клеток Вова может гарантированно получить, если он найдет общее количество уникальных зелёных клеток (пусть x). Каждый перекрашенный квадрат получает 15 рублей, следовательно, максимальная сумма денег, которую Вова может заработать:

   Количество зелёных клеток будет меньше либо равно половине от общего числа клеток, что даёт 45 зелёных клеток (при самом оптимальном раскрашивании):

   \[ 45 \times 15 = 675 \text{ рублей.} \]

Таким образом, Вова может гарантированно получить 675 рублей.