Вася нарисовал в клетчатой тетради квадрат 8 х 8 со сторонами, идущими по линиям сетки. Внутри этого квадрата он хочет нарисовать другой квадрат с вершинами в узлах сетки (при этом стороны могут не быть параллельны сторонам исходного квадрата). Сколько различных вариантов площадей таких квадратов может получить Вася? Квадрат 8 × 8 в ответе не учитывать.

Для нахождения различных вариантов площадей квадратов, которые можно вписать в квадрат 8 × 8 с вершинами в узлах сетки, рассмотрим следующий подход.

1. Площадь квадрата: Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны. Если мы будем учитывать только квадраты, стороны которых не параллельны граням квадратной сетки, их площадь может быть выражена через длину векторов, соединяющих две пары противоположных вершин.

2. Параметры для построения квадратов: В сетке 8×8 имеются 9 узлов по горизонтали и 9 по вертикали (всего 9 × 9 = 81 узел). Чтобы образовать квадрат, его вершины должны находиться в узлах этой сетки.

3. Выбор пары узлов: Для построения произвольного квадрата, мы можем выбрать любые 2 узла, которые будут являться противоположными вершинами квадрата, не обращая внимания на то, как он будет повёрнут.

4. Определение различных площадей: Чтобы определить различные площади, мы можем использовать расстояние между выбранными узлами. Так как квадрат имеет равные стороны, расстояние между вершинами определяет его размеры.

5. Точки узлов: Для получения количества различных размеров квадратов нарисуем все возможные квадраты (включая повёрнутые) между узлами.

При рассмотрении всех возможных квадратов на сетке можно выяснить, что возможные расстояния между точками узлов могут давать различные площади:

• Если длина стороны квадрата равна \( d \), то возможные значения \( d^2 \) (площади) будут от 1 до \( c \), где \( c \) зависит от возможности определять стороны в различных направлениях, а площади квадратов будут равны \( 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 18, 20, 25, 32 \).

Итак, подводя итог, посчитаем (окраской или координатами) уникальные площади квадратов, которые не включают исходный квадрат 8 × 8, и найдем их:

• Следует исключить 64, что соответствует квадрату 8 × 8.

Общее количество различных вариантов площадей квадратов, которые можно получить, будет равно:

Ответ: 13 уникальных площадей (при числе площадей от 1 до 64 с исключением 64).