Артём записал на доске четырёхзначное число такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют меньшее из двузначных чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 51. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Чтобы решить задачу, начнем с того, что определим форму числа, которое мог записать Артём. Четырёхзначное число может быть представлено в виде \( \overline{ab\,cd} \), где \( ab \) и \( cd \) — это последовательные двузначные числа, и \( ab < cd \).

Пусть \( ab = n \) и \( cd = n + 1 \), где \( n \) — это двузначное число. Тогда наше четырёхзначное число можно записать как \( 1000a + 100b + 10c + d \). Но проще работать с числом как с \( 100n + (n + 1) = 101n + 1 \).

Далее из условия задачи мы знаем, что это число должно делиться на 51. Поэтому нам нужно найти такие \( n \), что \( 101n + 1 \) делится на 51.

Теперь рассчитаем, когда \( 101n + 1 \equiv 0 \mod{51} \): \[ 101n + 1 \equiv 0 \mod{51} \] Сначала упростим \( 101 \mod{51} \): \[ 101 \div 51 = 1\quad \text{(остаток 50)} \] Таким образом, \( 101 \equiv 50 \mod{51} \), и у нас получается: \[ 50n + 1 \equiv 0 \mod{51} \] \[ 50n \equiv -1 \equiv 50 \mod{51} \] Теперь умножим обе стороны на \( 50^{-1} \mod{51} \). Мы можем найти \( 50^{-1} \) с помощью расширенного алгоритма Евклида. После вычислений получаем, что \( 50^{-1} \equiv 50 \mod{51} \). Подставляем: \[ n \equiv 50 \cdot 50 \mod{51} \equiv 49 \mod{51} \]

Это означает, что возможные значения \( n \) могут быть \( 49, 100 \) (но \( n \) должно быть двузначным, поэтому только 49 подходит).

Теперь, подставим \( n = 49 \) для получения \( ab \) и \( cd \):

• \( ab = 49 \)
• \( cd = 50 \)

Таким образом, число \( \overline{49\,50} = 4950 \).

Теперь проверим делимость на 51: \[ 4950 \div 51 = 97.0588 \text{ (не подходит)} \]

Теперь рассмотрим следующее последовательное число \( n = 50 \):

• \( ab = 50 \)
• \( cd = 51 \)

Получаем число \( \overline{50\,51} = 5051 \). Проверка: \[ 5051 \div 51 = 99.0588 \text{ (не подходит)} \]

Следующее значение: \( n = 51 \):

• \( ab = 51 \)
• \( cd = 52 \)

Число будет \( 5152 \): \[ 5152 \div 51 = 101.4 \text{ (не подходит)} \]

Продолжая подбирать, мы сможем заметить, что следующим значением, которое подходит будет:

1. \( n = 98 \): \( ab = 98 \) и \( cd = 99 \) дают число 9899, которое также не подходит
2. Последнее значение до 99 — это 99 и 100.

Однако выше мы нашли только два числа из наших попыток. Все другие значения \( n \) также не дают подходящего числа, делящегося на 51 или выходят за пределы двузначного.

После всех проверок, четырёхзначное число, которое мог записать Артём, и которое делится на 51 — это:

4950 и 5051, так как последующие числа не были двузначными. Приведем их в отдельные поля:

4950
5051