Одна сторона треугольника на 6 см больше другой, а угол между ними равен 120°. найди периметр треугольника если его третья сторона равна 21 см
Чтобы найти периметр треугольника, давайте сначала обозначим стороны. Пусть одна сторона треугольника будет равна \(x\) см. Тогда другая сторона, которая на 6 см больше, будет равна \(x + 6\) см. Третья сторона, как указано, равна 21 см.
Теперь у нас есть три стороны треугольника:
- \(x\) (первая сторона)
- \(x + 6\) (вторая сторона)
- 21 см (третья сторона)
Так как угол между первыми двумя сторонами равен 120°, мы можем применить закон косинусов для нахождения стороны \(x\):
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
где:
- \(c\) - длина третьей стороны (21 см),
- \(a\) - первая сторона (\(x\)),
- \(b\) - вторая сторона (\(x + 6\)),
- \(C\) - угол между сторонами (120°).
Сначала найдём \(\cos(120°)\): \[ \cos(120°) = -\frac{1}{2} \]
Теперь подставим всё в формулу: \[ 21^2 = x^2 + (x + 6)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 6) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
Посчитаем: \[ 441 = x^2 + (x^2 + 12x + 36) + x(x + 6) \] \[ 441 = 2x^2 + 12x + 36 + x^2 + 6x \] \[ 441 = 3x^2 + 18x + 36 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 3x^2 + 18x + 36 - 441 = 0 \] \[ 3x^2 + 18x - 405 = 0 \]
Теперь упростим уравнение, разделив всё на 3: \[ x^2 + 6x - 135 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576 \]
Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 24}{2} \] Это дает два решения: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-30}{2} = -15 \] Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, мы выбираем \(x = 9\).
Теперь найдём длины сторон:
- Первая сторона: \(x = 9\) см.
- Вторая сторона: \(x + 6 = 15\) см.
- Третья сторона: \(21\) см.
Теперь можно найти периметр треугольника: \[ P = 9 + 15 + 21 = 45 \text{ см}. \]
Периметр треугольника равен 45 см.
