Дед мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где вме дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего сделал следующее: Раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; Взял одну конфету себе ; Ищ своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда дед мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 9. Сколько детей было на празднике?
Для решения задачи начнем с обозначений. Пусть \( n \) — количество детей на празднике, а старший из детей будет иметь номер \( n \). Каждый из детей раздает конфеты, начиная с самого старшего.
Распределение конфет младшим детям: Старший ребенок раздает по 2 конфеты всем младшим. Значит, он раздает \( 2(n - 1) \) конфет (так как младших детей на одного меньше, чем всего детей).
Конфеты для самого себя: Затем старший ребенок берет 1 конфету себе. Итого конфет, которые он взял и раздал: \( 2(n - 1) + 1 \).
Конфеты для старших детей: После этого старший ребенок возвращает по 1 конфете каждому старшему (все его старшие «себе»). Если предположить, что нет старших, которые выше него, то возвращать конфеты уже не нужно.
Для остальных детей: Каждый следующий ребенок повторяет аналогичные действия, раздавая 2 конфеты всем младшим, беря 1 для себя, и затем добавляя по 1 конфете для каждого старшего.
Теперь давайте сосчитаем, что происходит с оставшимися 100 конфетами. Обозначим целое количество конфет в мешке в момент, когда Дед Мороз пришёл: это 100 конфет.
Когда Дед Мороз уходит, остается 9 конфет, значит он раздал: \[ 100 - 9 = 91 \text{ конфета} \]
С учетом вышеописанного, можно заметить, что каждый из \( n \) детей за процесс раздачи тратит 2 конфеты на следующего. Это происходит для каждого из 2 младших детей. Простая модель может выглядеть так: если на празднике \( n \) детей, старшие дети раздают конфеты тем, кто младше их по 2, зарабатывая 1 конфету для себя.
Формула для общего числа конфет (разданных) будет зависеть от количества детей. Решение чуть сложнее, если подумать о числе \( x \) — младших детей. При этом у нас остается система уравнений, которую можно решить, но проще заметить, что:
\[ 2 \cdot S - x = 91 \]
Здесь \( S \) — число младших детей и \( x \) — 2 конфеты каждому. По образованию позволяет решить конфеты по формуле.
Таким образом, в конце концов можно упростить:
- Пусть каждый из \( n \) раздает по 2 \( (n - 1) \) и 1 себе.
Когда мы объединили всё, то поделив 91 на 3 (двое раздающих):
\[ \text{Число детей } n = 13 \]
Таким образом, на празднике было 13 детей.
