Дан треугольник ABC AC=37,2 B=45° C=60° Найдите сторону AB (ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня)

Чтобы найти сторону AB в треугольнике ABC, нам могут помочь теоремы тригонометрии. Мы знаем длину стороны AC и угол B, а также угол C. Сначала найдем угол A, используя формулу:

\[ A = 180° - B - C \]

Подставим значения:

\[ A = 180° - 45° - 60° = 75° \]

Теперь мы можем использовать закон синусов, который гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где \(a\), \(b\) и \(c\) — это стороны треугольника, противоположные углам A, B и C соответственно. В нашем случае \(b = AC = 37,2\) и \(B = 45°, C = 60°\). Мы ищем сторону AB, которая соответствует углу C (то есть это сторона \(c\)).

Запишем уравнение для стороны AB (это сторона c):

\[ \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{c}{\sin 60°} = \frac{37,2}{\sin 45°} \]

Знаем, что \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Теперь подставим их в уравнение:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{37,2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упростим уравнение:

\[ c = 37,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Теперь упростим выражение:

\[ c = 37,2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = 37,2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 18,6 \cdot \sqrt{6} \]

Теперь выразим результат в наименьшем натуральном числе под корнем:

\[ c = 18 \cdot \sqrt{6} \]

Таким образом, сторона AB равна \(18 \sqrt{6}\).