Расстояние от середины большего основания равнобедренной трапеции до вершины тупого угла равно меньшему основанию, а большее основание в 2 раза больше, чем меньшее. Вычисли периметр трапеции, если длина меньшего основания равна 18 см.

Дана равнобедренная трапеция, где длина меньшего основания (b₁) равна 18 см. Обозначим большее основание (b₂), которое в 2 раза больше меньшего основания:

\[ b_2 = 2 \cdot b_1 = 2 \cdot 18 = 36 \; \text{см}. \]

Согласно условию, расстояние от середины большего основания до вершины тупого угла равно меньшему основанию. Если обозначить длину боковой стороны трапеции как \( a \), то можем использовать формулу для высоты \( h \) равнобедренной трапеции:

Сначала найдем высоту трапеции. Если обозначить середину большего основания как M, то расстояние от M до точки, где высота пересекает меньшее основание (обозначим его как N), равно \( \frac{b_2 - b_1}{2} \):

\[ MN = \frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{36 - 18}{2} = \frac{18}{2} = 9 \; \text{см}. \]

Теперь, основываясь на прямоугольном треугольнике, образованном отрезками MN и высотой h, можем выразить высоту:

По теореме Пифагора:

\[ a^2 = h^2 + MN^2. \]

Поскольку расстояние MN равно 9 см, то:

\[ a^2 = h^2 + 9^2. \] \[ a^2 = h^2 + 81. \]

Заметим также, что в нашем случае высота, которую мы обозначили как \( h \), равна меньшему основанию:

\[ h = 18 \; \text{см}. \]

Теперь подставляем высоту h:

\[ a^2 = 18^2 + 81, \] \[ a^2 = 324 + 81, \] \[ a^2 = 405. \]

Теперь найдем a:

\[ a = \sqrt{405}. \] \[ a \approx 20.12 \; \text{см}. \]

Теперь, чтобы найти периметр \( P \) трапеции, воспользуемся формулой:

\[ P = b_1 + b_2 + 2a. \]

Подставляем наши значения:

\[ P = 18 + 36 + 2 \cdot 20.12, \] \[ P = 54 + 40.24, \] \[ P \approx 94.24 \; \text{см}. \]

Таким образом, периметр трапеции примерно равен 94.24 см.