ребро куба PQRSP1Q1R1S1 равно √13. Найдите угол между прямыми PQ и P1R.

Чтобы найти угол между прямыми \( PQ \) и \( P_1R \) в кубе с ребром \( a = \sqrt{13} \), сначала рассмотрим координаты точек.

Обозначим координаты некоторых вершин куба:

• \( P(0, 0, 0) \)
• \( Q(\sqrt{13}, 0, 0) \)
• \( R(\sqrt{13}, \sqrt{13}, 0) \)
• \( S(0, \sqrt{13}, 0) \)
• \( P_1(0, 0, \sqrt{13}) \)
• \( Q_1(\sqrt{13}, 0, \sqrt{13}) \)
• \( R_1(\sqrt{13}, \sqrt{13}, \sqrt{13}) \)
• \( S_1(0, \sqrt{13}, \sqrt{13}) \)

Теперь необходимо определить векторы \( \vec{PQ} \) и \( \vec{P_1R} \):

• Вектор \( \vec{PQ} = Q - P = (\sqrt{13}, 0, 0) - (0, 0, 0) = (\sqrt{13}, 0, 0) \)
• Вектор \( \vec{P_1R} = R - P_1 = (\sqrt{13}, \sqrt{13}, 0) - (0, 0, \sqrt{13}) = (\sqrt{13}, \sqrt{13}, -\sqrt{13}) \)

Теперь используем формулу для нахождения угла \( \theta \) между двумя векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]

где \( \vec{a} = \vec{PQ} \), а \( \vec{b} = \vec{P_1R} \).

Сначала найдем скалярное произведение \( \vec{PQ} \) и \( \vec{P_1R} \):

\[ \vec{PQ} \cdot \vec{P_1R} = (\sqrt{13}, 0, 0) \cdot (\sqrt{13}, \sqrt{13}, -\sqrt{13}) = \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} + 0 \cdot \sqrt{13} + 0 \cdot (-\sqrt{13}) = 13 \]

Теперь найдем длины векторов:

\[ |\vec{PQ}| = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{13} \]

\[ |\vec{P_1R}| = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + (\sqrt{13})^2 + (-\sqrt{13})^2} = \sqrt{13 + 13 + 13} = \sqrt{39} \]

Теперь можем подставить все значения в формулу:

\[ \cos \theta = \frac{13}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{39}} = \frac{13}{\sqrt{507}} \]

Теперь найдем угол \( \theta \) с использованием арккосинуса:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{13}{\sqrt{507}}\right) \]

Таким образом, угол между прямыми \( PQ \) и \( P_1R \) можно найти, используя полученное значение. Рассмотрев это уравнение, вы сможете вычислить угол с помощью калькулятора.