190. Мяч бросают с крыши, находящейся на высоте 20 м от поверхности земли. Его начальная скорость равна 25 м/с и направлена: а) горизонтально; б) вверх под углом 30° к горизонту;…
190. Мяч бросают с крыши, находящейся на высоте 20 м от поверхности земли. Его начальная скорость равна 25 м/с и направлена: а) горизонтально; б) вверх под углом 30° к горизонту; в) вниз под углом 30° к горизонту. Чему равна дальность полета по горизонтали?
Для расчета дальности полета мяча в каждом из предложенных случаев используем физику движения тел под воздействием силы тяжести.
Условия задачи
- Высота крыши: \( h = 20 \, \text{м} \)
- Начальная скорость: \( v_0 = 25 \, \text{м/с} \)
Расчет будет производиться по частям: для каждого случая определим время полета и дальность.
Общая формула
Для нахождения времени полета для тела, брошенного с высоты, используем формулу для движения с ускорением (в данном случае - ускорением свободного падения \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \)):
\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \] Отсюда находим время полета \( t \):
\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]
a) Горизонтальный бросок
При горизонтальном броске начальная скорость по вертикали \( v_{0y} = 0 \). Поэтому:
- Найдем время полета:
\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{9.81}} \approx \sqrt{\frac{40}{9.81}} \approx 2.02 \, \text{с} \]
- Теперь найдем дальность полета (горизонтальную составляющую):
\[ d = v_{0x} \cdot t = 25 \, \text{м/с} \cdot 2.02 \, \text{с} \approx 50.5 \, \text{м} \]
b) Бросок вверх под углом 30°
Для броска под углом \( 30^\circ \):
- Найдем горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости:
\[ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(30^\circ) = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 21.65 \, \text{м/с} \] \[ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(30^\circ) = 25 \cdot \frac{1}{2} = 12.5 \, \text{м/с} \]
- Рассчитаем время подъемной части (время, за которое мяч достигает максимальной высоты):
\[ t_{up} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{12.5}{9.81} \approx 1.27 \, \text{с} \]
- Найдем максимальную высоту \( h_{max} \):
\[ h_{max} = v_{0y} \cdot t_{up} - \frac{1}{2} g t_{up}^2 \] \[ h_{max} \approx 12.5 \cdot 1.27 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (1.27)^2 \approx 15.88 \, \text{м} \]
- Высота, с которой мяч начинает падение, уже 20 м. Подсчитав общую высоту, можем определить время падения:
Общая высота \( H = 20 + 15.88 = 35.88 \, \text{м} \).
Теперь пересчитаем время падения с этой высоты:
\[ t_{fall} = \sqrt{\frac{2H}{g}} \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 35.88}{9.81}} \approx 2.69 \, \text{с} \]
- Общее время полета:
\[ t_{total} = t_{up} + t_{fall} \approx 1.27 + 2.69 \approx 3.96 \, \text{с} \]
- Найдем горизонтальную дальность:
\[ d \approx 21.65 \cdot 3.96 \approx 85.69 \, \text{м} \]
c) Бросок вниз под углом 30°
Эта ситуация проще, так как мяч бросается вниз. Горизонтальная составляющая скорости остается такой же, как в предыдущем случае:
\[ v_{0x} = 21.65 \, \text{м/с} \]
- Время полета можно вычислить, подав mяч под углом прямолинейного движения:
\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 2.02 \, \text{с} \]
- Горизонтальная дальность:
\[ d = v_{0x} \cdot t = 21.65 \cdot 2.02 \approx 43.7 \, \text{м} \]
Ответы
- а) Дальность полета мячa (горизонтально): \( \approx 50.5 \, \text{м} \)
- б) Дальность полета мячa (вверх под углом 30°): \( \approx 85.69 \, \text{м} \)
- в) Дальность полета мячa (вниз под углом 30°): \( \approx 43.7 \, \text{м} \)
Если есть дополнительные вопросы или нужно разъяснение по какому-то этапу, не стесняйтесь спрашивать!
