Три круга радиусами 3,6 и 9 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 3 и радиусом 6 касаются в точке А, а круги радиусом 6 и радиусом 9- в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на корень 5.

Для решения данной задачи будем использовать известные координаты центров кругов.

1. Обозначим радиусы кругов:

   • Круг 1: радиус \( r_1 = 3 \)
   • Круг 2: радиус \( r_2 = 6 \)
   • Круг 3: радиус \( r_3 = 9 \)

2. Поставим круги в координатную плоскость следующим образом:

   • Центр круга радиусом 3 (круг 1) будет в точке \( (0, 0) \).
   • Центр круга радиусом 6 (круг 2) можно разместить в точке \( (r_1 + r_2, 0) = (3 + 6, 0) = (9, 0) \).
   • Чтобы найти координаты центра круга радиусом 9 (круг 3), помним, что он касается обоих кругов 1 и 2.

3. Поскольку все круги касаются друг друга, используем свойства касания окружностей для нахождения координат центра круга радиусом 9. Поскольку круги касаются внешним образом, расстояния между их центрами равны сумме их радиусов:

   • Расстояние между центрами кругов радиусом 9 и 6: \[ d_{23} = r_2 + r_3 = 6 + 9 = 15 \]
   • Расстояние между центрами кругов радиусом 3 и 9: \[ d_{13} = r_1 + r_3 = 3 + 9 = 12 \]

4. Сначала найдем координаты центра круга 3, зная, что его центр находится в точке \( (x, y) \). Учитывая уже известные координаты центра круга 2 (\( (9, 0) \)), получаем уравнение: \[ \sqrt{(x - 9)^2 + y^2} = 15 \] Это дает: \[ (x - 9)^2 + y^2 = 225 \]

5. Также, зная координаты центра круга 1 (\( (0, 0) \)), получаем второе уравнение: \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 12 \] Это дает: \[ x^2 + y^2 = 144 \]

6. Теперь решим систему из двух уравнений:

   Из второго уравнения выразим \( y^2 \): \[ y^2 = 144 - x^2 \]

   Подставим это в первое уравнение: \[ (x - 9)^2 + (144 - x^2) = 225 \] Раскроем скобки: \[ x^2 - 18x + 81 + 144 - x^2 = 225 \] Упростим: \[ -18x + 225 = 225 \] Отсюда: \[ -18x = 0 \implies x = 0 \]

   Подставим \( x = 0 \) в \( y^2 = 144 - x^2 \): \[ y^2 = 144 \implies y = 12 \text{ или } -12 \]

7. Таким образом, координаты центра круга радиусом 9: \[ (0, 12) \text{ или } (0, -12) \]

8. Теперь найдем точки касания \( A \) и \( B \):

   • Точка касания \( A \) кругов радиусов 3 и 6 будет находиться на оси \( x \) в точке \( (3, 0) \).
   • Точка касания \( B \) кругов радиусов 6 и 9 находится на линии, соединяющей их центры и радиусом 6 в точке \( (9, 6) \).

9. Теперь найдем расстояние \( AB \): \[ A(3, 0), B(9, 6) \] \[ AB = \sqrt{(9 - 3)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

10. Умножаем расстояние на \( \sqrt{5} \): \[ A'B' = AB \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{10} \]

Итак, окончательный ответ: \[ 6\sqrt{10} \]