Артём записал на доске четырёхзначное число — такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют большее из чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 51. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Чтобы решить задачу, разберемся с форматом числа, который записал Артём. Пусть 4-значное число записывается в формате \( abcd \), где \( ab \) — старшие разряды, а \( cd \) — младшие. Согласно условию, \( ab \) и \( cd \) должны образовать последовательные двузначные числа.
Пусть \( ab = x \), тогда \( cd = x - 1 \) или \( cd = x + 1 \).
По условию, число \( abcd \) должно делиться на 51. Напомним, что 51 = 3 × 17, так что для проверки делимости на 51 нужно проверить делимость на 3 и 17.
Шаг 1: Определим возможные числа \( x \)
Случай 1: \( cd = x - 1 \) Это значит, что:
- \( ab = x \)
- \( cd = x - 1 \)
Числа \( x \) могут принимать значения от 10 до 99, а следовательно: \( abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 100 \cdot (10a + b) + 10 \cdot (10c + d) = 100x + (x - 1) \). То есть, \[ N = 100x + (x - 1) = 101x - 1. \]
Для \( N \) быть четерёхзначным, \( 1000 \leq N < 10000 \) или \[ 1000 \leq 101x - 1 < 10000. \] Это дает нам: \[ 1001 \leq 101x < 10001 \Rightarrow 10 \leq x < 99. \]
Проверим делимость на 3. Так как \( 101x \) всегда делится на 3, необходимо, чтобы \( 101x - 1 \) делилось на 3, следовательно, \( x - 1 \equiv 0 \mod 3 \) или \( x \equiv 1 \mod 3 \).
Теперь проверим делимость на 17. \( 101x - 1 \equiv 0 \mod 17 \) :
Рассмотрим \( 101 \mod 17 \): \[ 101 \div 17 = 5 \Rightarrow 101 = 85 + 16 \Rightarrow 101 \equiv 16 \mod 17. \]
Таким образом, \( 16x - 1 \equiv 0 \mod 17 \Rightarrow 16x \equiv 1 \mod 17 \).
Чтобы избежать длинных вычислений, воспользуемся тем, что обратное число к 16 мод 17 — это 16 (так как \( 16 \cdot 16 \equiv 1 \mod 17 \)).
Таким образом, \( x \equiv 16 \mod 17 \).
Теперь можно найти значения \( x \), которые удовлетворяют условиям \( x \equiv 1 \mod 3 \) и \( x \equiv 16 \mod 17 \).
Шаг 2: Решаем систему
Решим систему уравнений:
- \( x \equiv 1 \mod 3 \)
- \( x \equiv 16 \mod 17 \)
Сначала найдем решение для \( x = 17k + 16 \): \[ 17k + 16 \equiv 1 \mod 3 \\ 2k + 1 \equiv 1 \mod 3 \\ 2k \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow k \equiv 0 \mod 3. \]
Пусть \( k = 3m \), тогда применим его к уравнению: \[ x = 17(3m) + 16 = 51m + 16. \]
Теперь \( 10 \leq 51m + 16 < 99 \):
- \( 51m + 16 \geq 10 \Rightarrow m \geq 0 \).
- \( 51m + 16 < 99 \Rightarrow m < \frac{83}{51} = 1.627 \Rightarrow m \leq 1 \).
Итак, возможные значения \( m \) — это 0 и 1:
- \( m = 0 \Rightarrow x = 16 \)
- \( m = 1 \Rightarrow x = 67 \)
Подставляем \( x \) в \( cd \):
- Для \( x = 16 \Rightarrow cd = 15; \text{ число } 1615 \)
- Для \( x = 67 \Rightarrow cd = 66; \text{ число } 6766 \)
Проверяем оба числа на делимость на 51:
- \( 1615 \div 51 = 31.67 \) — не делится.
- \( 6766 \div 51 = 132 \) — делится.
Таким образом, единственное число, которое мог записать Артём: 6766.
