На олимпиаде были предложены 3 задачи, каждая из которых оценивалась в 0, 1 или 2 балла. Оказалось, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое число баллов хотя…

Чтобы найти наибольшее количество участников, укладывающегося в заданные условия, начнём с анализа возможных баллов за каждую из трёх задач.

Каждая задача может давать 0, 1 или 2 балла. Таким образом, для каждой задачи есть 3 возможных результата. Поскольку задач три, можно посчитать общее количество возможных комбинаций набранных баллов.

Для каждой задачи мы можем записать возможные баллы:

• Задача 1: 0, 1, или 2
• Задача 2: 0, 1, или 2
• Задача 3: 0, 1, или 2

Общее количество комбинаций баллов, которое может получить участник, рассчитывается как произведение возможных значений по каждой задаче:

\[ 3 \text{ (задача 1)} \times 3 \text{ (задача 2)} \times 3 \text{ (задача 3)} = 3^3 = 27 \]

Таким образом, 27 комбинаций — это все возможные способы набрать баллы за три задачи.

Однако по условию задачи, среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое количество баллов хотя бы по двум задачам. Это означает, что два участника не могут делить ни одну из задач: их баллы по каждой задаче должны быть уникальны.

Теперь посмотрим на сочетания баллов, которые могут быть уникальными для каждого участника. Мы можем рассмотреть, сколько различных способов существуют для участников:

Каждая комбинация (x, y, z), где x, y, z — это баллы по задачам, может быть уникальной до тех пор, пока не совпадет хотя бы в одной из задач. Однако раз это условие — количество уникальных решений будет фактически равно количеству всех возможных комбинаций (так как все комбинации уникальны по определению условий задачи).

Таким образом, наибольшее количество участников, которое могло бы присутствовать на Олимпиаде при выполнении указанных условий, составляет:

\[ \boxed{27} \]

То есть, на Олимпиаде могло быть максимум 27 участников, где каждый из участников имеет уникальную комбинацию баллов по трём задачам.