Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: • раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; • взял одну конфету себе; • из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 200 конфет у него в мешке осталось только 80. Сколько детей было на празднике!

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом. У нас есть Дед Мороз, который изначально принёс 200 конфет. После праздника у него осталось 80 конфет. Это значит, что он раздал 200 - 80 = 120 конфет.

Обозначим количество детей на празднике как \( n \). Каждый ребенок, начиная со старшего, раздаёт конфеты младшим и себе, а затем возвращает конфеты в мешок для старших детей.

Пусть \( k \) – количество детей, младше старшего. Тогда каждый из детей, начиная со старшего, делал следующее:

1. Раздавал по 2 конфеты каждому из детей младше себя, что в итоге давало \( 2k \) конфет.
2. Брал одну конфету себе, то есть +1.
3. Для детей, старше себя, он возвращал по одному, и это количество будет зависеть от расположения детей.

Сначала, давайте поймём, сколько конфет было раздано: когда кто-то имел \( i \) конфет, он раздаёт \( 2(k - 1) + 1 \) и по одному для самых старших.

Однако, чтобы упростить, давайте рассмотрим изменённое количество конфет. Каждый старший ребёнок делает это действие, и в конечном итоге мы получаем:

• Всего было раздано 120 конфет.

Теперь предположим, что \( n \) детей равномерно распределены по возрасту, и давайте скажем, что старший ребенок был 1, второй 2, и так далее до \( n - 1 \). То есть, каждый раздаёт суммарно конфеты каждому из \( n - i \) детям, что сложно считать напрямую.

Для упрощения давайте выведем формулу потерь конфет от количества детей:

Каждый старший ребенок раздает 2 конфеты каждому младшему, добавляет себе 1, и затем возвращает по одному для старших.

После анализа, используя теорию относительно прироста и уменьшения, можно заявить о том, что средний процесс рассеивания конфет повторяется \( n \) раз. Итак, в конце:

\[ n(n-1)+n = 120. \]

В итоге, мы решаем это уравнение, получая:

1. \( n^2 - n + n - 120 = 0; \)
2. \( n^2 - 120 = 0; \)
3. \( n = 10. \)

Таким образом, на празднике было 10 детей.