Вася нарисовал в клетчатой тетради квадрат 7 × 7 со сторонами, идущими по линиям сетки. Внутри этого квадрата он хочет нарисовать другой квадрат с вершинами в узлах сетки (при этом стороны могут не быть параллельны сторонам исходного квадрата). Сколько различных вариантов площадей таких квадратов может получить Вася? Квадрат 7 × 7 в ответе не учитывать.
Рассмотрим задачу о нахождении различных площадей квадратов, которые можно нарисовать внутри квадрата размером 7 × 7. Чтобы square оставался квадратным, его стороны не обязательно должны быть параллельны сторонам основного квадрата, однако его вершины должны находиться в узлах сетки.
Поскольку мы рассматриваем квадраты, у которых стороны могут быть наклонены, для вычисления площади необходимо учитывать разные размеры квадратов, которые могут быть вписаны в исходный квадрат.
Для квадратов, которые имеют вершины на узлах сетки, максимум площадей будет определяться минимальной стороной, которая будет равна длине стороны квадрата, рисуемого внутри основного квадрата.
Перечислим возможные размеры квадратов:
- Площадь квадрата 1 × 1 = 1
- Площадь квадрата 2 × 2 = 4
- Площадь квадрата 3 × 3 = 9
- Площадь квадрата 4 × 4 = 16
- Площадь квадрата 5 × 5 = 25
- Площадь квадрата 6 × 6 = 36
При этом необходимо заметить, что никаких дополнительных квадратов размером, меньшим, чем 1 × 1 или большим, чем 6 × 6 при размещении внутри квадрата 7 × 7 нарисовать нельзя (считаем, что сам квадрат 7 на 7 не учитывается).
Таким образом, возможные площади квадратов, не превышающие 6 × 6, которые могут быть нарисованы внутри квадратов, равны:
- 1
- 4
- 9
- 16
- 25
- 36
Считаем, что каждый размер создает уникальную площадь. Список уникальных площадей:
Итак, Вася может получить следующие уникальные площади квадратов: 1, 4, 9, 16, 25, 36. Поэтому всего возможных уникальных площадей 6.
Ответ: 6.
