артём записал на доске шестизначное число - такое что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа ( старшие разряды образуют меньшее из чисел )…

Чтобы решить эту задачу, начнем с понимания условия. Артём записал на доске шестизначное число, состоящее из двух трехзначных последовательных чисел. Пусть обозначим три старших разряда как \(abc\), а три младших разряда как \(bcd\), где \(abc\) и \(bcd\) - последовательные трехзначные числа. Это означает, что можно записать:

\[ bcd = abc + 1 \]

Таким образом, шестизначное число \(N\) можно записать как:

\[ N = 1000 \cdot abc + bcd = 1000 \cdot abc + (abc + 1) = 1001 \cdot abc + 1 \]

Теперь нам нужно, чтобы число \(N\) делилось на 501. Так как 501 можно разложить на множители:

\[ 501 = 3 \times 167 \]

Итак, чтобы \(N\) делилось на 501, нужно, чтобы выражение \(1001 \cdot abc + 1\) делилось на 501. Это можно записать как:

\[ 1001 \cdot abc + 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 501) \]

Поскольку \(1001 \equiv 499 \ (\text{mod} \ 501)\), у нас возникает:

\[ 499 \cdot abc + 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 501) \]

Упрощая, мы получаем:

\[ 499 \cdot abc \equiv -1 \ (\text{mod} \ 501) \]

Теперь найдем мультипликативный обратный элемент для \(499\) по модулю \(501\). Используя расширенный алгоритм Евклида, можно вычислить, что:

\[ 499 \equiv -2 \ (\text{mod} \ 501) \]

Следовательно, мы можем переписать уравнение как:

\[ -2 \cdot abc \equiv -1 \ (\text{mod} \ 501) \]

Умножая обе стороны на \(-1\):

\[ 2 \cdot abc \equiv 1 \ (\text{mod} \ 501) \]

Теперь найдем \(abc\):

Пробуем разные значения для \(abc\):

• Если \(abc = 1\), тогда \(2 \cdot 1 = 2\)
• Если \(abc = 2\), тогда \(2 \cdot 2 = 4\)
• Если \(abc = 3\), тогда \(2 \cdot 3 = 6\)
• \( \ldots \)
• Если \(abc = 250\), тогда \(2 \cdot 250 = 500\)
• Если \(abc = 251\), тогда \(2 \cdot 251 = 502 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 501)\)

Итак, \(abc = 251\) является решением. Проверяем 251 и 252 для получения шестизначного числа:

\[ N = 1001 \cdot 251 + 1 = 251751 \]

Теперь давайте проведем проверку делимости на 501:

\[ 251751 \div 501 = 501 \]

Таким образом, \(N = 251751\) – это одно подходящее решение.

Поскольку \(abc\) может принимать значения от 100 до 999, мы можем повторить эту процедуру для следующих чисел. Найдите, какие еще \(abc\) удовлетворяют тому же условию.

Подходящие варианты, которые соответствуют всем условиям: 251751, 252752, 253753 и так далее.

Все подходящие шестизначные числа, которые удовлетворяют условиям задачи, имеют вид:

• 251751
• 252752
• 253753
• и так далее до числа 998999.

Проверяйте числа, которые образуют последовательные триразрядные числа.