Имеется 10 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так,что в каждой коробке есть хотя бы один красный шарик.Коля нашёл разницу между количеством шаров разных…

Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно рассмотрим условия.

У нас есть 10 коробок, каждая из которых содержит синие и красные шарики, причем в каждой коробке должен быть как минимум один красный шарик. Количество шариков разных цветов в каждой коробке обозначим: \( r_i \) - количество красных шариков в \( i \)-й коробке и \( b_i \) - количество синих шариков. По условию, Коле была записана разница между количеством шариков разных цветов в каждой коробке.

Разница между количеством синих и красных шариков в \( i \)-й коробке может быть выражена как \( |b_i - r_i| \). Поскольку у нас 10 разных чисел, это означает, что каждая коробка должна давать уникальную разницу шариков.

Теперь давайте найдем минимальное количество шариков во всех коробках. Мы начнем с простого выбора значений для \( r_i \) и \( b_i \).

Если рассмотреть минимальные значения:

• В каждой коробке пусть будет по 1 красному шарика, это гарантирует, что в каждой коробке есть хотя бы один красный шарик.
• Теперь нам нужно определить количество синих шариков так, чтобы полученные разницы были уникальны.

Предположим, что в каждой коробке количество синих шариков будет равно \( 1, 2, 3, 4, ..., 10 \). Тогда у нас будет:

1. В первой коробке: \( r_1 = 1, b_1 = 1 \) → \( |b_1 - r_1| = |1 - 1| = 0 \)
2. В 2-й коробке: \( r_2 = 1, b_2 = 2 \) → \( |b_2 - r_2| = |2 - 1| = 1 \)
3. В 3-й коробке: \( r_3 = 1, b_3 = 3 \) → \( |b_3 - r_3| = |3 - 1| = 2 \)
4. В 4-й коробке: \( r_4 = 1, b_4 = 4 \) → \( |b_4 - r_4| = |4 - 1| = 3 \)
5. В 5-й коробке: \( r_5 = 1, b_5 = 5 \) → \( |b_5 - r_5| = |5 - 1| = 4 \)
6. В 6-й коробке: \( r_6 = 1, b_6 = 6 \) → \( |b_6 - r_6| = |6 - 1| = 5 \)
7. В 7-й коробке: \( r_7 = 1, b_7 = 7 \) → \( |b_7 - r_7| = |7 - 1| = 6 \)
8. В 8-й коробке: \( r_8 = 1, b_8 = 8 \) → \( |b_8 - r_8| = |8 - 1| = 7 \)
9. В 9-й коробке: \( r_9 = 1, b_9 = 9 \) → \( |b_9 - r_9| = |9 - 1| = 8 \)
10. В 10-й коробке: \( r_{10} = 1, b_{10} = 10 \) → \( |b_{10} - r_{10}| = |10 - 1| = 9 \)

Теперь у нас есть разницы: \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \). После небольших уточнений заметим, что нам нужно исключить 0, потому что все 10 отличий должны быть разные и положительные числа. Поэтому значения синих шариков можно назначить таким образом:

• В первой коробке: по 1 красному и по 2 синих \( (1,2) \) → \( |2-1| = 1 \)
• В 2-й коробке: по 1 красному и по 3 синих \( (1,3) \) → \( |3-1| = 2 \)
• В 3-й коробке: по 1 красному и по 4 синих \( (1,4) \) → \( |4-1| = 3 \)
• В 4-й коробке: по 1 красному и по 5 синих \( (1,5) \) → \( |5-1| = 4 \)
• В 5-й коробке: по 1 красному и по 6 синих \( (1,6) \) → \( |6-1| = 5 \)
• В 6-й коробке: по 1 красному и по 7 синих \( (1,7) \) → \( |7-1| = 6 \)
• В 7-й коробке: по 1 красному и по 8 синих \( (1,8) \) → \( |8-1| = 7 \)
• В 8-й коробке: по 1 красному и по 9 синих \( (1,9) \) → \( |9-1| = 8 \)
• В 9-й коробке: по 1 красному и по 10 синих \( (1,10) \) → \( |10-1| = 9 \)
• В 10-й коробке: по 1 красному и по 11 синих \( (1,11) \) → \( |11-1| = 10 \)

Теперь, чтобы получить минимальное количество шариков, сумма красных и синих:

Сумма:

• Красные: \( 10 \times 1 = 10 \)
• Синие: \( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 55 \)

Итак, минимальное количество шариков:

\[ 10 + 55 = 65 \]

Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках составляет 65.