Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: • раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; • взял одну конфету себе; • из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 22. Сколько детей было на празднике?

Для решения этой задачи давайте разберёмся с действиями, которые выполняли дети, и с тем, как они влияли на количество конфет.

1. Обозначим количество детей на празднике как \( n \).
2. Каждый ребенок раздаёт по 2 конфеты всем младшим детям, берёт 1 конфету себе и возвращает по 1 конфете старшим детям.

Пусть у нас есть старший ребенок, и для простоты начнем с того, что у нас всего \( n \) детей, и каждый из них делает эти действия.

Для анализа сделаем несколько шагов:

• Пусть первый (самый старший) ребенок раздаёт 2 конфеты всем младшим (то есть \( n-1 \) детям). Тогда он раздаёт \( 2(n-1) \) конфет.
• Он берет 1 конфету себе, значит его вклад на этом этапе составит \( 2(n-1) + 1 \).
• Теперь он должен вернуть по одной конфете каждому из старших детей (в данном случае, никому, так как он самый старший).

Таким образом, для каждого следующего, менее старшего ребенка будет аналогично.

Каждый раз, когда старший ребенок делает свой ход, он теряет 2 конфеты на каждый раз, когда раздаёт их, но также восстанавливает 1 от своей части после того, как он берёт себе.

Когда все дети сделают по своему примеру, все раздадут свои конфеты, но мы знаем, что было 100 изначально, а осталось 22. Это значит, что фактически было потрачено (100 - 22) = 78 конфет.

Теперь рассмотрим более общий подсчет по детям:

1. Количество конфет, распределённых между всеми детьми:
   • Старший раздаёт всем младшим: \( 2(n-1) \)
   • Другие дети так же, в зависимости от их возраста.

Каждый из \( n \) детей участвует в раздаче конфет. Учтем, что каждый раздаёт конфеты по отношению к своему возрасту. Мы можем заметить, что количество потраченных конфет будет около \( 2(n-1) \) для каждого ребенка.

2. Простое уравнение:
   • Известно, что сумма изначальных 100 конфет уменьшилась до 22, значит, потрачено: \( 100 - 22 = 78 \).
   • Количество конфет, потраченных каждым ребенком, будет равно: \( 2 \cdot (n-1) \), а потом умножим на количество детей.

Если мы проведём эксперимент и добавим, что дети получили конфеты в возрастающем количестве (бодро представляя, что общая система раздачи устроена минимально), то можем с определенной степенью догадки показать, что с увеличением детей расход будет разумно упроститься к формуле.

На практике, если мы попытаемся дергать с небольшим количеством чисел, скажем через пробу от 1 до 10:

После нескольких попыток будет видно, что:

• Для \( n = 10 \) = 78 конфет, уменьшение будет мне.

Давайте подытожим:

При определённых пробах и при помощи экспериментального метода: видно, что количество детей \( n \): n = 12.

Таким образом, на празднике было 12 детей.