Прямоугольный треугольник АВС со сторонами АС=24, ВС=7 вписана полуокружность так, как показано на рисунке. Центр полуокружности лежит на стороне АС, полуокружность касается сторон АВ и ВС.
В прямоугольном треугольнике ABC, где AC = 24 и BC = 7, мы можем рассмотреть вписанную полуокружность. Для нахождения радиуса этой полуокружности, касающейся сторон AB и BC и имеющей центр на стороне AC, мы можем воспользоваться следующими шагами.
Найдите длину стороны AB. Поскольку ABC — прямоугольный треугольник, можно использовать теорему Пифагора:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25. \]
Используйте формулу радиуса вписанной окружности. Радиус \( r \) вписанной окружности (в данном случае — полуокружности) может быть найден с помощью формулы:
\[ r = \frac{A}{p}, \]
где \( A \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр треугольника.
Найдите площадь треугольника ABC. Площадь можно вычислить по формуле:
\[ A = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 24 \times 7 = 84. \]
Рассчитайте полупериметр треугольника ABC. Полупериметр \( p \) равен:
\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{25 + 7 + 24}{2} = \frac{56}{2} = 28. \]
Теперь найдите радиус вписанной окружности.
\[ r = \frac{A}{p} = \frac{84}{28} = 3. \]
Таким образом, радиус полуокружности, вписанной в треугольник ABC, составляет 3 единицы.
