Решите систему уравнений с помощью матрицы 2x-3y=3 3x+2y=11
Для решения системы уравнений с помощью матрицы, мы сначала можем записать систему в матричном виде. У нас есть следующие уравнения:
- \(2x - 3y = 3\)
- \(3x + 2y = 11\)
Сначала представим эту систему в форме матричного уравнения:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix} \]
Теперь обозначим матрицы:
- \(A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\) (матрица коэффициентов)
- \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) (вектор переменных)
- \(B = \begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix}\) (вектор свободных членов)
Чтобы найти \(X\), мы можем воспользоваться формулой:
\[ X = A^{-1}B \]
Находим обратную матрицу \(A^{-1}\). Сначала вычислим определитель матрицы \(A\):
\[ \text{det}(A) = (2 \cdot 2) - (3 \cdot -3) = 4 + 9 = 13 \]
Определитель не равен нулю, значит, матрица обратима. Теперь находим обратную матрицу по формуле:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
где:
- \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 3\), \(d = 2\)
Подставляем значения:
\[ A^{-1} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \]
Теперь умножим \(A^{-1}\) на \(B\):
\[ X = A^{-1}B = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix} \]
Сначала вычислим произведение:
\[ \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 3 \cdot 11 \\ -3 \cdot 3 + 2 \cdot 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 33 \\ -9 + 22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 39 \\ 13 \end{pmatrix} \]
Теперь подставим в формулу:
\[ X = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 39 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Таким образом, получили:
\[ x = 3, \quad y = 1 \]
Ответ: \(x = 3\), \(y = 1\).
