Имеется 9 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. Оказалось, что было написано 9 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках?

Для решения этой задачи обозначим количество синих шариков в i-й коробке за \(b_i\), а количество красных шариков за \(r_i\). Разница между количеством шариков разных цветов в каждой коробке будет равна \(|b_i - r_i|\). Поскольку известно, что разницы в каждой из 9 коробок написаны, и они все разные, значит, возможные значения разницы должны быть от 1 до 9.

Таким образом, мы имеем:

\[ |b_i - r_i| \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \]

Коля сможет записать 9 различных значений для каждого различия, что накладывает определённые ограничения на значения \(b_i\) и \(r_i\). Поскольку в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик, то мы имеем:

\[ b_i \geq 1 \quad \text{и} \quad r_i \geq 1 \]

Для минимизации общего количества шариков, стоит учитывать, что разница \(|b_i - r_i|\) может быть представлена следующими парами/группами:

• Если \(|b_i - r_i| = k\), то можно взять \(b_i = r_i + k\) или \(r_i = b_i + k\).

Таким образом, можно выразить количество шариков в каждой коробке как:

1. Если \(b_i = r_i + k\): \[ b_i + r_i = (r_i + k) + r_i = 2r_i + k \]
2. Если \(r_i = b_i + k\): \[ b_i + r_i = b_i + (b_i + k) = 2b_i + k \]

Следовательно, каждая коробка может быть записана как:

1. \(b_i = r_i + k_i\) и минимизируем \(r_i = 1\) => \(b_i = 1 + k_i\)
2. Суммарное количество шариков в i-й коробке будет: \[ b_i + r_i = (1 + k_i) + 1 = k_i + 2 \]

Теперь подставим все разницы от 1 до 9:

• \(k_1 = 1\)
• \(k_2 = 2\)
• \(k_3 = 3\)
• \(k_4 = 4\)
• \(k_5 = 5\)
• \(k_6 = 6\)
• \(k_7 = 7\)
• \(k_8 = 8\)
• \(k_9 = 9\)

Общее количество шариков:

\[ \sum_{i=1}^{9} (k_i + 2) = \sum_{i=1}^{9} k_i + 9 \cdot 2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 18 \]

Сначала вычислим сумму чисел от 1 до 9: \[ \sum_{i=1}^{9} i = \frac{9 \cdot (9 + 1)}{2} = 45 \]

Следовательно:

\[ \text{Общее количество шариков} = 45 + 18 = 63 \]

Таким образом, минимальное количество шариков, которое может лежать суммарно во всех коробках, составляет:

\[ \boxed{63} \]