. Обозначим новую математическую операцию a*b=(a−1)(b+1). Известно, что a*b=24, а b a=30. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости
Рассмотрим данную новую математическую операцию, заданную как \( a * b = (a - 1)(b + 1) \). У нас есть две равенства: \( a * b = 24 \) и \( b * a = 30 \).
Первым делом, запишем два уравнения по данному определению операции:
- \( (a - 1)(b + 1) = 24 \)
- \( (b - 1)(a + 1) = 30 \)
Теперь раскроем каждое из уравнений:
\( ab + a - b - 1 = 24 \) Преобразуем его: \[ ab + a - b = 25 \quad \text{(1)} \]
\( ab + b - a - 1 = 30 \) Преобразуем его: \[ ab + b - a = 31 \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть система уравнений:
\[ ab + a - b = 25 \quad (1) \] \[ ab + b - a = 31 \quad (2) \]
Вычтем из второго уравнения первое:
\[ (ab + b - a) - (ab + a - b) = 31 - 25 \]
Это упрощается до:
\[ b - a + b - a = 6 \quad \Rightarrow \quad 2b - 2a = 6 \quad \Rightarrow \quad b - a = 3 \quad \Rightarrow \quad b = a + 3 \]
Теперь подставим \( b = a + 3 \) в любое из уравнений. Подставим это значение в уравнение (1):
\[ a(a + 3) + a - (a + 3) = 25 \] \[ a^2 + 3a + a - a - 3 = 25 \] \[ a^2 + 3a - 3 = 25 \quad \Rightarrow \quad a^2 + 3a - 28 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} \]
Так как \( \sqrt{121} = 11 \):
\[ a = \frac{-3 + 11}{2} = 4 \quad \text{или} \quad a = \frac{-3 - 11}{2} = -7 \]
Теперь найдем соответствующие значения \( b \):
- Если \( a = 4 \):
\[ b = 4 + 3 = 7 \quad \Rightarrow \quad a + b = 4 + 7 = 11 \]
- Если \( a = -7 \):
\[ b = -7 + 3 = -4 \quad \Rightarrow \quad a + b = -7 - 4 = -11 \]
Таким образом, возможные значения \( a + b \) равны:
- \( 11 \)
- \( -11 \)
Ответ:
11
-11
