Три круга радиусами 3, 6 и 9 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 3 и радиусом 6 касаются в точке A, а круги радиусом 6 и радиусом 9 в точке B. Найдите расстояние AB, умноженное на √5

Чтобы решить задачу, сначала определим положение кругов в координатной системе. Обозначим круги с радиусами 3, 6 и 9, как \(C_1\), \(C_2\) и \(C_3\) соответственно.

1. Пусть центр круга \(C_1\) (радиус 3) находится в точке (0, 0).
2. Центр круга \(C_2\) (радиус 6) будет расположен на расстоянии, равном сумме радиусов \(C_1\) и \(C_2\), т.е. на расстоянии 3 + 6 = 9 от центра \(C_1\). Можем разместить его в точке (9, 0).
3. Центр круга \(C_3\) (радиус 9) будет находиться на расстоянии, равном сумме радиусов \(C_2\) и \(C_3\), т.е. на расстоянии 6 + 9 = 15 от центра \(C_2\). Можем разместить его в точке (9, 0) + 15 по горизонтали, то есть в точке (24, 0).

Теперь найдем точки касания кругов:

• Точка A (касание между \(C_1\) и \(C_2\)) расположена на расстоянии радиуса 3 от \(C_1\), что соответствует точке (3, 0).

• Точка B (касание между \(C_2\) и \(C_3\)) расположена на расстоянии радиуса 6 от \(C_2\), что соответствует точке (9 + 6, 0) = (15, 0).

Теперь найдем расстояние AB:

\[ AB = |x_B - x_A| = |15 - 3| = 12. \]

Нам нужно умножить это расстояние на \(\sqrt{5}\):

\[ AB \cdot \sqrt{5} = 12 \cdot \sqrt{5}. \]

Итак, окончательный ответ:

\[ 12\sqrt{5}. \]