(х-4)^4-5(х-4)^+4=0
Давайте решим уравнение \( (x-4)^4 - 5(x-4) + 4 = 0 \).
Для начала сделаем замену: положим \( y = (x-4) \). Тогда уравнение принимает вид: \[ y^4 - 5y + 4 = 0 \]
Теперь мы можем попробовать найти корни этого уравнения. Поскольку это многочлен четвертой степени, можно использовать методы подбора или теорему Виета. Однако иногда удобно проверить, есть ли целые корни, подставляя некоторые значения.
Подставим \( y = 1 \): \[ 1^4 - 5 \cdot 1 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0 \] Значит, \( y = 1 \) — это корень уравнения.
Теперь мы можем разложить многочлен на линейный множитель и кубический многочлен. Используем деление многочленов, чтобы разделить \( y^4 - 5y + 4 \) на \( y - 1 \):
После деления мы получим: \[ y^4 - 5y + 4 = (y - 1)(y^3 + y^2 - 4y - 4) \]
Теперь нам нужно решить кубическое уравнение \( y^3 + y^2 - 4y - 4 = 0 \). Мы можем попробовать найти его корни тем же методом подбора.
Проверим \( y = -2 \): \[ (-2)^3 + (-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 4 = -8 + 4 + 8 - 4 = 0 \] Значит, \( y = -2 \) — еще один корень.
Теперь можем разбить кубический многочлен на линейный и квадратный множители: \[ y^3 + y^2 - 4y - 4 = (y + 2)(y^2 - y - 2) \]
Теперь решим квадратное уравнение \( y^2 - y - 2 = 0 \) с помощью формулы корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = -1, c = -2 \): \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Получаем корни: \[ y_1 = 2, \quad y_2 = -1 \]
Теперь у нас есть три корня для \( y \): \[ y_1 = 1, \quad y_2 = -2, \quad y_3 = 2, \quad y_4 = -1 \]
Возвращаясь к исходной замене \( y = (x - 4) \), у нас есть: \[ x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5 \] \[ x - 4 = -2 \Rightarrow x = 2 \] \[ x - 4 = 2 \Rightarrow x = 6 \] \[ x - 4 = -1 \Rightarrow x = 3 \]
Таким образом, уравнение \( (x-4)^4 - 5(x-4) + 4 = 0 \) имеет следующие решения: \[ x = 5, \quad x = 2, \quad x = 6, \quad x = 3. \]
