Найди площадь поверхности правильного тетрайдера если высота его грани равна 3

Чтобы найти площадь поверхности правильного тетрайдера (трехгранной пирамиды с равными гранями), нам сначала нужно узнать длину ребра, так как площадь поверхности рассчитывается через площадь его треугольных граней.

1. Определим длину ребра: В правильном тетрайдере высота грани (h) равна \( \frac{\sqrt{2}}{2} a \), где \( a \) — длина ребра. Мы знаем, что высота грани равна 3, то есть: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} a = 3 \] Умножим обе стороны на \( \frac{2}{\sqrt{2}} \): \[ a = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \]

2. Теперь найдём площадь одной грани: Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Подставляем \( a = 3\sqrt{2} \): \[ S = \frac{(3\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{18 \sqrt{3}}{4} = 4.5 \sqrt{3} \]

3. Площадь поверхности тетрайдера: Площадь поверхности состоит из 4 равных граней, поэтому: \[ S_{total} = 4 \cdot S = 4 \cdot 4.5 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3} \]

Таким образом, площадь поверхности правильного тетрайдера с высотой грани 3 равна \( 18 \sqrt{3} \).