(№ 6942) (Н. Сафронов) Число 132, записано в системе счисления с основанием п (п > 1). Определите наибольшее возможное значение п, для которого 132 n < 70 Для этого значения и в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Чтобы решить задачу, давайте переведем число 132 из системы счисления с основанием \( p \) в десятичную систему. Запись числа 132 в основание \( p \) означает, что:
\[ 132_p = 1 \cdot p^2 + 3 \cdot p^1 + 2 \cdot p^0 = p^2 + 3p + 2 \]
Нам нужно найти наибольшее возможное значение \( p \), для которого выполняется неравенство:
\[ p^2 + 3p + 2 < 70 \]
Решим это неравенство:
- Упростим его:
\[ p^2 + 3p + 2 - 70 < 0 \] \[ p^2 + 3p - 68 < 0 \]
- Найдём корни квадратного уравнения \( p^2 + 3p - 68 = 0 \) с помощью формулы корней:
\[ p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = 3, c = -68 \).
Подставляем:
\[ p = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-68)}}{2 \cdot 1} \] \[ p = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 272}}{2} \] \[ p = \frac{-3 \pm \sqrt{281}}{2} \]
Приблизительно \( \sqrt{281} \approx 16.76 \):
\[ p \approx \frac{-3 + 16.76}{2} \approx \frac{13.76}{2} \approx 6.88 \]
Мы рассматриваем нецелые значения, так как основание должно быть целым и больше 1. Следовательно, наибольшее целое значение \( p \) будет равно 6, поскольку основание не может быть больше 6.
Теперь проверим, подходит ли \( p = 6 \):
\[ p^2 + 3p + 2 = 6^2 + 3 \cdot 6 + 2 = 36 + 18 + 2 = 56 \] \[ 56 < 70 \] (неравенство выполняется).
Теперь давайте представим это число в десятичной системе счисления:
\[ 132_6 = 1 \cdot 6^2 + 3 \cdot 6^1 + 2 \cdot 6^0 \] \[ = 1 \cdot 36 + 3 \cdot 6 + 2 \cdot 1 \] \[ = 36 + 18 + 2 = 56 \]
Таким образом, наибольшее возможное значение \( p = 6 \), а представление числа 132 в десятичной системе счисления будет \( 56 \).
