Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (х; у), удовлетворяющих соотношению ||x| - |y|| = 1, а Ваня нарисовал синим фломастером параболу x =…

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализирования условий, заданных для красных и синих точек.

Шаг 1: Понимание красной области.

Аня нарисовала точки, удовлетворяющие уравнению \( ||x| - |y|| = 1 \). Это уравнение выполняется при следующих условиях:

1. \( |x| - |y| = 1 \)
2. \( |y| - |x| = 1 \)

Это приводит к четырем возможным случаям:

1. \( x - y = 1 \) и \( x \geq 0, y \geq 0 \) (отрезок из точки (1, 0) до бесконечности)
2. \( x + y = 1 \) и \( x \geq 0, y \leq 0 \) (отрезок из точки (1, 0) до точки (0, -1))
3. \( -x + y = 1 \) и \( x \leq 0, y \geq 0 \) (отрезок из точки (-1, 0) до точки (0, 1))
4. \( -x - y = 1 \) и \( x \leq 0, y \leq 0 \) (отрезок из точки (-1, 0) до бесконечности)

Таким образом, красная область состоит из четырех отрезков, которые пересекают оси координат.

Шаг 2: Понимание синей области.

Ваня нарисовал параболу \( x = y^2 - 1 \). Эта парабола открыта вправо и имеет вершинное значение в точке (-1, 0).

Шаг 3: Поиск общих точек.

Теперь мы должны найти точки, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Подставим из уравнения синей области \( y^2 - 1 = x \) в уравнения, которые мы получили для красной области.

1. Сначала подставим в \( |y| - |x| = 1 \):

   • Если \( x = y^2 - 1 \), то получаем \( |y| - |y^2 - 1| = 1 \).

   Подсчитываем все четыре случая:

   • Для случая, где \( y \geq 0 \): \[ y - (y^2 - 1) = 1 \implies y - y^2 + 1 = 1 \implies -y^2 + y = 0 \implies y(y - 1) = 0 \] Отсюда \( y = 0 \) и \( y = 1 \), что дает \( x = -1 \) и \( x = 0 \).

   • Аналогично для отрицательных \( y \) (при условии \( y < 0 \)): \[ -y - (y^2 - 1) = 1 \implies -y - y^2 + 1 = 1 \implies -y - y^2 = 0 \implies -y(y + 1) = 0 \] Здесь \( y = 0 \) и \( y = -1 \), что также дает \( x = -1 \) и \( x = 0 \).

Таким образом, имеем следующие точки, покрашенные и в красный, и в синий цвет:

1. Точка (-1, 0)
2. Точка (0, 1)
3. Точка (0, -1)

Ответ: Всего 3 точки были покрашены и в красный, и в синий цвет.