Три круга радиусами 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 1 и радиусом 2 касаются в точке А, а круги радиусом 2 и радиусом 3 в точке В. Найдите…

Для решения задачи представим три круга с радиусами 1, 2 и 3. Назовем их \( C_1 \), \( C_2 \) и \( C_3 \) соответственно.

1. Определение центров кругов:

   • Центр круга радиусом 1 (\( C_1 \)) будем обозначать как \( O_1 \).
   • Центр круга радиусом 2 (\( C_2 \)) обозначим как \( O_2 \).
   • Центр круга радиусом 3 (\( C_3 \)) обозначим как \( O_3 \).

2. Положение центров: Круги касаются внешним образом, значит расстояния между центрами равны сумме их радиусов:

   • Расстояние между \( O_1 \) и \( O_2 \): \[ O_1O_2 = r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3 \]
   • Расстояние между \( O_2 \) и \( O_3 \): \[ O_2O_3 = r_2 + r_3 = 2 + 3 = 5 \]

3. Установим координаты центров: Без потери общности можно установить координаты:

   • \( O_1(0, 0) \)
   • \( O_2(3, 0) \) (так как \( O_1O_2 = 3 \))
   • Для определения \( O_3 \) используем, что расстояние \( O_2O_3 = 5 \). Поскольку этот круг также касается \( O_1 \), расстояние от \( O_1 \) до \( O_3 \) будет: \[ O_1O_3 = r_1 + r_3 = 1 + 3 = 4 \]

4. Координаты \( O_3 \): Пусть \( O_3 \) имеет координаты \( (x, y) \). У нас есть два уравнения: \[ (x - 3)^2 + y^2 = 25 \quad \text{(так как } O_2O_3 = 5\text{)} \] \[ x^2 + y^2 = 16 \quad \text{(так как } O_1O_3 = 4\text{)} \]

5. Решение системы уравнений: Из второго уравнения выразим \( y^2 \): \[ y^2 = 16 - x^2 \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ (x - 3)^2 + (16 - x^2) = 25 \] Раскроем скобки: \[ x^2 - 6x + 9 + 16 - x^2 = 25 \] Упрощая, получаем: \[ -6x + 25 = 25 \] Отсюда: \[ -6x = 0 \implies x = 0 \]

   Теперь подставим \( x = 0 \) в \( y^2 = 16 - x^2 \): \[ y^2 = 16 \implies y = 4 \quad \text{или } y = -4 \]

   Таким образом, координаты \( O_3 \) могут быть \( (0, 4) \) или \( (0, -4) \).

6. Нахождение точек A и B:

   • Точка A (касание \( C_1 \) и \( C_2 \)): \[ A\left(1, 0\right) \quad \text{(1 единица вправо от } O_1\text{)} \]
   • Точка B (касание \( C_2 \) и \( C_3 \)): Если \( O_3(0, 4) \), то точка B будет: \[ B\left(2, 4\right) \quad \text{(два единицы вверх от } O_2\text{)} \] Если \( O_3(0, -4) \), то \( B\left(2, -4\right) \).

7. Нахождение расстояния AB: Найдем расстояние между A и B: \[ AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \]

8. Умножение на \(\sqrt{5}\): Теперь найдем \( AB \cdot \sqrt{5} \): \[ AB \cdot \sqrt{5} = \sqrt{17} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{85} \]

Таким образом, искомое значение \( AВ \cdot \sqrt{5} = \sqrt{85} \).