Имеется 9 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. Оказалось, что было написано 9 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках?
Чтобы решить эту задачу, нам нужно разобраться в условиях, которые мы имеем.
У нас есть 9 коробок, и в каждой коробке есть как минимум один синий, так и один красный шарик. Обозначим для каждой коробки количество синих шариков как \( s_i \) и количество красных шариков как \( r_i \) для \( i = 1, 2, \ldots, 9 \). Мы знаем, что для каждой коробки разница между количеством шариков разных цветов записывается как \( |s_i - r_i| \).
Поскольку Коля записал 9 различных чисел разности, это означает, что все \( |s_i - r_i| \) должны принимать разные значения. Когда у нас есть одно значение разности \( d_i = |s_i - r_i| \), то в каждой коробке количество шариков можно представить как \( s_i = r_i + d_i \) или \( r_i = s_i + d_i \).
Чтобы минимизировать общее количество шариков, мы можем рассмотреть минимальные случаи для каждой коробки.
Предположим, что разности \( d_i \) принимают значения от 1 до 9. Это возможно, если:
- Для первой коробки \( d_1 = 1 \), \( s_1 = 1\), \( r_1 = 2 \) (итого 3 шарика)
- Для второй коробки \( d_2 = 2 \), \( s_2 = 2 \), \( r_2 = 4 \) (итого 6 шариков)
- Для третьей коробки \( d_3 = 3 \), \( s_3 = 3 \), \( r_3 = 6 \) (итого 9 шариков)
- Для четвертой коробки \( d_4 = 4 \), \( s_4 = 4 \), \( r_4 = 8 \) (итого 12 шариков)
- Для пятой коробки \( d_5 = 5 \), \( s_5 = 5 \), \( r_5 = 10 \) (итого 15 шариков)
- Для шестой коробки \( d_6 = 6 \), \( s_6 = 6 \), \( r_6 = 12 \) (итого 18 шариков)
- Для седьмой коробки \( d_7 = 7 \), \( s_7 = 7 \), \( r_7 = 14 \) (итого 21 шариков)
- Для восьмой коробки \( d_8 = 8 \), \( s_8 = 8 \), \( r_8 = 16 \) (итого 24 шариков)
- Для девятой коробки \( d_9 = 9 \), \( s_9 = 9 \), \( r_9 = 18 \) (итого 27 шариков)
Теперь давайте посчитаем общее количество шариков:
\[ \begin{align*} &= (1 + 2) + (2 + 4) + (3 + 6) + (4 + 8) + (5 + 10) + (6 + 12) + (7 + 14) + (8 + 16) + (9 + 18) \\ &= 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 \\ &= 3 + 6 = 9 \\ &= 9 + 9 = 18 \\ &= 18 + 12 = 30 \\ &= 30 + 15 = 45 \\ &= 45 + 18 = 63 \\ &= 63 + 21 = 84 \\ &= 84 + 24 = 108 \\ &= 108 + 27 = 135 \end{align*} \]
Таким образом, минимальное количество шариков, которое может лежать суммарно во всех коробках, составляет 135.
