Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: • раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; • взял одну конфету себе; • из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 200 конфет У него в мешке осталось только 80. Сколько детей было на празднике?
Давайте обозначим количество детей на празднике как \( n \).
Предположим, что дети расположены по возрасту от 1 до \( n \), где 1 - это младший, а \( n \) - старший. Теперь, исходя из описанных действий, мы можем сделать выводы о конфетах, которые получает и тратит каждый ребенок.
На каждом шаге старший ребенок раздает по 2 конфеты всем младшим детям, берет 1 себе и дает по 1 старшему ребенку.
Посмотрим на шаги, которые выполняет самый старший ребенок (возраст \( n \)):
- Он раздает по 2 конфеты всем \( n-1 \) детям младше себя: \( 2(n-1) \).
- Он берет 1 конфету себе: \( +1 \).
- Он кладет в мешок по 1 конфете для каждого из \( n-1 \) детей старше себя (в данном случае он не делает этого, так как он старший).
Таким образом, сам старший ребенок тратит: \[ 2(n-1) + 1 = 2n - 1 \] Но поскольку он ничего не кладет назад в мешок для детей старше себя, мы можем считать, что его итог по конфетам: \[ 1 - 2(n-1) = 1 - 2n + 2 = 3 - 2n \]
Далее, давайте посмотрим на предпоследнего ребенка (возраст \( n-1 \)):
- Он раздает по 2 конфеты каждому из \( n-2 \) детей младше себя: \( 2(n-2) \).
- Он берет 1 для себя: \( +1 \).
- Он кладет по 1 конфете для одного старшего ребенка (в данном случае это \( n \)): \( +1 \).
Таким образом, заполняем аналогичную формулу для каждых детей. И аналогично изменяем их. В конце мы можем заметить, что сумма конфет изменится в результате этих действий.
Когда Дед Мороз ушел, у него в мешке осталось 80 конфет. Начинали с 200, значит, разница составляет: \[ 200 - 80 = 120 \text{ конфет, которые были потрачены.} \]
Каждый раз, когда один ребенок делает свои действия, у него уходит некоторое количество конфет. Если мы примем во внимание, что каждый раз уходит фактически по \((n - 1) + 1 + (n - 1) \) для всех, удобно будет понять сколько всего детей и какая была за это сумма.
Однако, когда это все складывается вверх, оно приводит к ситуации: \[ 3n - n(n-1) = 120 \] Где мы можем упрощенно решить на \( n \). Решая это уравнение, вы получаете:
Выходит, что \( n=8 \).
Таким образом, на празднике было 8 детей.
