Три круга радиусами 3, б и 9 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 3 и радиусом 6 касаются в точке А, а круги радиусом 6 и радиусом 9 - в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на V5.

Для решения этой задачи удобно воспользоваться свойствами кругов и теорией о касательных.

Обозначим радиусы кругов так:

• радиус \( r_1 = 3 \),
• радиус \( r_2 = 6 \),
• радиус \( r_3 = 9 \).

Круги касаются друг друга внешним образом, что означает, что расстояние между центрами любых двух кругов равно сумме их радиусов.

Пусть:

• \( O_1 \) - центр круга радиусом 3,
• \( O_2 \) - центр круга радиусом 6,
• \( O_3 \) - центр круга радиусом 9.

Теперь можем найти расстояния между центрами:

1. Расстояние между \( O_1 \) и \( O_2 \): \[ O_1O_2 = r_1 + r_2 = 3 + 6 = 9. \]
2. Расстояние между \( O_2 \) и \( O_3 \): \[ O_2O_3 = r_2 + r_3 = 6 + 9 = 15. \]
3. Расстояние между \( O_1 \) и \( O_3 \): \[ O_1O_3 = r_1 + r_3 = 3 + 9 = 12. \]

Теперь выполним построение для нахождения расстояния \( AB \):

1. Расположим круги на координатной плоскости. Пусть \( O_1 \) будет в начале координат, т.е. \( O_1(0, 0) \).
2. Расположим \( O_2 \) на оси \( x \) на расстоянии 9 от \( O_1 \): \[ O_2(9, 0). \]
3. Для нахождения центра круга \( O_3 \) воспользуемся свойствами треугольника, образованного центрами \( O_1, O_2, O_3 \). Известно, что расстояние \( O_1O_3 \) равно 12, \( O_2O_3 \) равно 15.

Находим координаты \( O_3 \) по заданным расстояниям. Пусть \( O_3(x, y) \): \[ O_3O_1 = 12 \implies x^2 + y^2 = 144, \] \[ O_3O_2 = 15 \implies (x - 9)^2 + y^2 = 225. \]

Решим последнюю систему:

1. Из первого уравнения: \[ y^2 = 144 - x^2. \]
2. Подставим \( y^2 \) во второе уравнение: \[ (x - 9)^2 + 144 - x^2 = 225. \] Упростим: \[ x^2 - 18x + 81 + 144 - x^2 = 225, \] \[ -18x + 225 = 225 \implies -18x = 0 \implies x = 0. \]
3. Значит, \( y^2 = 144 - 0^2 = 144 \implies y = 12 \) или \( y = -12 \).

Теперь имеем координаты:

• \( O_1(0, 0) \),
• \( O_2(9, 0) \),
• \( O_3(0, 12) \).

Теперь находим точки касания \( A \) и \( B \):

• Точка касания \( A \) между кругами радиусами 3 и 6 лежит на прямой соединяющей их, по координатам будет \( A(3, 0) \).
• Точка касания \( B \) между кругами радиусами 6 и 9 будет \( B(9, 6) \).

Теперь нужно найти расстояние \( AB \): \[ AB = \sqrt{(9 - 3)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \]

Умножим это значение на \( \sqrt{5} \): \[ AB \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{10}. \]

Ответ: \[ 6\sqrt{10}. \]