Сказочной стране принято давать детям двойные имена.Имена не должны повторяться и должны идти в алфавитном порядке.Так, например, имя Анна Мария допустимо, а Анна Анна или Мария Анна - нет.В некоторой компании среди любых трёх людей есть хотя бы одна Анна, а среди любых пятерых - хотя бы одна Мария. Полных тёзок, совпадающих по обоим именам, нет. Какое наибольшее количество человек может быть в компании?
Для решения данной задачи, давайте проанализируем условия. У нас есть двойные имена, которые должны идти в алфавитном порядке, и имена не должны повторяться. Это означает, что среди имен только допустимы комбинации, такие как «Анна Мария», «Мария Настя» и так далее.
Условия с именами:
- Среди любого трех людей есть хотя бы одна «Анна».
- Среди любого пяти людей есть хотя бы одна «Мария».
- Полных тёзок нет, то есть не может быть двух людей с одинаковым именем.
Имя «Анна»: Поскольку среди любых трёх людей должна быть хотя бы одна «Анна», это означает, что в компании должно быть не больше двух людей, которые не являются «Анной». Если бы их было больше, то может возникнуть ситуация, когда среди трех человек не будет ни одной «Анны».
Имя «Мария»: Аналогично, среди любых пяти людей должна быть хотя бы одна «Мария». Это значит, что в компании может быть не больше четырех человек, которые не являются «Марией». Если бы их было больше, могло бы случиться так, что среди пяти человек ни одной «Марии» не окажется.
Учитывая обе условия: Пусть у нас будет \(n_A\) «Анн» и \(n_M\) «Марий». Поскольку в каждой группе должно быть достаточно имен, мы имеем:
- \(n \leq n_A + 2\) для просто «Анн».
- \(n \leq n_M + 4\) для «Марий».
Поскольку полных тёзок нет, мы можем назначить хотя бы одно уникальное имя каждой «Анне» и каждой «Марии», но они не могут совпадать. Давайте предположим, что будет 3 «Анны» и 4 «Марии».
Таким образом, максимальное количество людей в компании можно посчитать по формуле: \[ n = n_A + n_M = 3 + 4 = 7. \]
Кроме того, следует проверить, что среди любых трёх людей будет хотя бы одна «Анна» (это условие выполняется) и среди любых пяти – хотя бы одна «Мария» (это условие также выполняется).
Итак, максимальное количество человек, которое может быть в компании – это 7.
