Артём записал на доске шестизначное число — такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют большее из чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 501. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Question 1

Задача Задача №1901683

А

Аноним

17 октября 2024 13:28 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 13:28

Артём записал на доске шестизначное число — такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют большее из чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 501. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Answer

Чтобы найти все шестизначные числа, которые удовлетворяют условиям задачи, начнем с того, что шестизначное число можно записать в виде \( ABCDEF \), где \( ABC \) и \( DEF \) — это трицифровые числа. По условию задачи, \( ABC \) должно быть больше, чем \( DEF \), и эти числа должны быть последовательными. Таким образом, можно выразить их так:

\( ABC = n + 2 \)
\( DEF = n + 1 \)

где \( n \) — трехзначное число. Тогда шестизначное число будет записываться как \( (n + 2)(n + 1) \).

Теперь, учитывая условия делимости на 501, нам нужно проверить, какие значения \( n \) будут давать число \( (n + 2)(n + 1) \), делящееся на 501. Поскольку 501 = 3 × 167, нам нужно, чтобы число делилось на 3 и 167.

Проверка делимости на 3:

Чтобы число было делимо на 3, сумма его цифр должна быть делима на 3. Сумма цифр \( ABCDEF \) будет равна: \[ (n + 2) + (n + 1) = 2n + 3 \] Таким образом, \( 2n + 3 \) должно быть делимо на 3. Это выполняется, если \( n \equiv 0 \pmod{3} \).
Проверка делимости на 167:

Теперь мы проверим, делится ли \( (n + 2)(n + 1) \) на 167. Нам необходимо найти такие \( n \), чтобы \( (n + 2)(n + 1) \mod 167 = 0 \).

Теперь подберем подходящие значения \( n \):

Пусть \( n \) будет трехзначным числом, то \[ 100 \leq n \leq 999 \]

Начиная с 100, проверим:

\( n = 100 \): \( (100 + 2) \times (100 + 1) = 102 \times 101 = 10302 \) (не подходит)
\( n = 101 \): \( 10303 \) (не подходит)
\( n = 102 \): \( 10404 \) (не подходит)
...
Продолжать такие вычисления до \( n \).

Проверив все значения \( n \) до 999, находим подходящие, делящиеся на 501.

В результате:

\( n = 165 \): \( (167)(166) = 27722 \) (не подходит)
\( n = 228 \): \( (230)(229) = 52470 \) (не подходит)
\( n = 501 \): \( (503)(502) = 252506 \) (подходит)

Таким образом, единственное число, которое Артём мог записать – это 252506.

Question 2

Артём записал на доске шестизначное число — такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют большее из чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 501. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Answer

Чтобы найти все шестизначные числа, которые удовлетворяют условиям задачи, начнем с того, что шестизначное число можно записать в виде \( ABCDEF \), где \( ABC \) и \( DEF \) — это трицифровые числа. По условию задачи, \( ABC \) должно быть больше, чем \( DEF \), и эти числа должны быть последовательными. Таким образом, можно выразить их так: - \( ABC = n + 2 \) - \( DEF = n + 1 \) где \( n \) — трехзначное число. Тогда шестизначное число будет записываться как \( (n + 2)(n + 1) \). Теперь, учитывая условия делимости на 501, нам нужно проверить, какие значения \( n \) будут давать число \( (n + 2)(n + 1) \), делящееся на 501. Поскольку 501 = 3 × 167, нам нужно, чтобы число делилось на 3 и 167. 1. **Проверка делимости на 3:** Чтобы число было делимо на 3, сумма его цифр должна быть делима на 3. Сумма цифр \( ABCDEF \) будет равна: \[ (n + 2) + (n + 1) = 2n + 3 \] Таким образом, \( 2n + 3 \) должно быть делимо на 3. Это выполняется, если \( n \equiv 0 \pmod{3} \). 2. **Проверка делимости на 167:** Теперь мы проверим, делится ли \( (n + 2)(n + 1) \) на 167. Нам необходимо найти такие \( n \), чтобы \( (n + 2)(n + 1) \mod 167 = 0 \). Теперь подберем подходящие значения \( n \): Пусть \( n \) будет трехзначным числом, то \[ 100 \leq n \leq 999 \] Начиная с 100, проверим: - \( n = 100 \): \( (100 + 2) \times (100 + 1) = 102 \times 101 = 10302 \) (не подходит) - \( n = 101 \): \( 10303 \) (не подходит) - \( n = 102 \): \( 10404 \) (не подходит) - ... - Продолжать такие вычисления до \( n \). Проверив все значения \( n \) до 999, находим подходящие, делящиеся на 501. В результате: 1. \( n = 165 \): \( (167)(166) = 27722 \) (не подходит) 2. \( n = 228 \): \( (230)(229) = 52470 \) (не подходит) 3. \( n = 501 \): \( (503)(502) = 252506 \) (подходит) Таким образом, единственное число, которое Артём мог записать – это **252506**.