Прямоугольник имеет периметр, равный 18 см, и наибольшую для этого периметра площадь. Выясните, какие стороны у этого прямоугольника.

Чтобы найти стороны прямоугольника с заданным периметром и наибольшей площадью, давайте вспомним, что периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ P = 2(a + b) \]

где \( a \) и \( b \) — это длины сторон прямоугольника. В вашем случае периметр равен 18 см. Мы можем записать уравнение:

\[ 2(a + b) = 18 \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ a + b = 9 \]

Теперь, чтобы максимизировать площадь прямоугольника, которая определяется как \( S = a \cdot b \), мы можем выразить \( b \) через \( a \):

\[ b = 9 - a \]

Теперь подставим это выражение в формулу площади:

\[ S = a(9 - a) = 9a - a^2 \]

Этоquadratic (квадратное) уравнение, и его максимальное значение можно найти, определив вершину параболы. Вершина параболы, заданной уравнением \( S = -a^2 + 9a \), находится по формуле:

\[ a = -\frac{b}{2a} \]

где \( b = 9 \) и \( a = -1 \):

\[ a = -\frac{9}{2 \cdot -1} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Таким образом, одна из сторон равна 4.5 см. Подставляем это значение обратно для нахождения другой стороны:

\[ b = 9 - 4.5 = 4.5 \]

Итак, в этом случае прямоугольник имеет стороны:

4.5 см и 4.5 см.

Таким образом, это является квадратом, что indeed дает максимальную площадь для данного периметра. Площадь такого прямоугольника составляет:

\[ S = 4.5 \cdot 4.5 = 20.25 \text{ см}^2. \]

Таким образом, стороны прямоугольника равны 4.5 см.