Сиамские коты составляли на выставке 1 15 от всех котов. Когда всех сиамских увели в отдельный павильон, то из оставшихся ровно каждый тринадцатый оказался рыжим. На выставке было 30 сфинксов, и они составляли не менее 10% от всех котов. Сколько котов было на выставке? Сфинкс не может быть ни сиамским, ни рыжим.

Давайте разберем задачу по шагам.

1. Определим долю сиамских котов. В условии сказано, что сиамские коты составляют \(\frac{1}{15}\) от всех котов. Это значит, если общее количество котов обозначить как \(x\), то количество сиамских котов будет \(\frac{x}{15}\).

2. Количество оставшихся котов. После того как всех сиамских котов увели в отдельный павильон, в наличии осталось \(x - \frac{x}{15} = \frac{14x}{15}\) котов.

3. Определим количество рыжих котов. Из оставшихся котов каждый тринадцатый оказался рыжим. Это означает, что количество рыжих котов равно \(\frac{1}{13} \cdot \frac{14x}{15}\).

4. Количество сфинксов. В условии указано, что на выставке было 30 сфинксов, и они составляют не менее 10% от всех котов. Это можно записать как: \[ 30 \geq 0.1 \cdot x \] Отсюда следует: \[ x \leq 300. \]

5. Количество оставшихся котов и их связь со сфинксами. Если из оставшихся \(\frac{14x}{15}\) котов вычесть 30 сфинксов, то получится: \[ \frac{14x}{15} - 30 \text{ (количество не сиамских и не сфинксов)}. \] Это количество должно быть больше или равно количеству рыжих котов: \[ \frac{14x}{15} - 30 \geq \frac{14x}{195}. \]

6. Упрощаем уравнение. \[ \frac{14x}{15} - 30 \geq \frac{14x}{195} \] Умножим все на 195, чтобы избавиться от дробей: \[ 195 \cdot \left( \frac{14x}{15} \right) - 195 \cdot 30 \geq 14x \] \[ 14x \cdot 13 - 5850 \geq 14x \] \[ 182x - 14x \geq 5850 \] \[ 168x \geq 5850 \] \[ x \geq \frac{5850}{168} \approx 34.64. \]

   Это значит, что минимальное целое число котов, которое возможно, равно 35.

7. Проверим допустимые значения \(x\). Мы ранее определили, что \(x \leq 300\). Теперь нам нужно найти такое \(x\), которое удовлетворяет всем условиям. Приблизим расчеты: \[ 35 \div 15 = 2.33 \text{ (данное количество сиамских котов)}\] Это округляется до 2. Это количество не подходит, так как количество сиамских котов должно быть целым числом.

   Проверим большее значение, например \(x = 195\): \[ \frac{195}{15} = 13 \text{ (количество сиамских котов)} \\ \frac{14 \cdot 195}{15} = 182 \text{ (количество оставшихся котов)} \\ 182 - 30 = 152 \text{ (оставшиеся коты без сфинксов)} \\ \frac{14 \cdot 195}{195} = 14 \text{ (количество рыжих котов)}. \]

Таким образом, получаем, что на выставке было 195 котов.