В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки - в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики - наоборот, в бассейн. Оказалось, что в первый день за все виды досуга было заплачено на 1313 рублей больше, чем во второй день. Известно, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино. Сколько в лагере мальчиков? Укажите все подходящие варианты.

Давайте обозначим количество мальчиков в лагере как \( x \), а количество девочек, соответственно, будет \( 25 - x \).

Пусть стоимость билета в кино равна \( K \), а стоимость посещения бассейна равна \( B \). С учетом условий, мы знаем, что \( B > K \).

Теперь составим уравнения для расходов в первый и второй день:

1. В первый день: мальчики идут в кино, а девочки в бассейн. Расходы составляют: \[ x \cdot K + (25 - x) \cdot B \]

2. Во второй день: девочки идут в кино, а мальчики в бассейн. Расходы составляют: \[ (25 - x) \cdot K + x \cdot B \]

Согласно условию задачи, расходы в первый день на 1313 рублей больше, чем во второй день. Это можно записать как: \[ x \cdot K + (25 - x) \cdot B = (25 - x) \cdot K + x \cdot B + 1313 \]

Упростим это уравнение. Переносим все члены в одну часть: \[ x \cdot K + (25 - x) \cdot B - (25 - x) \cdot K - x \cdot B = 1313 \]

Соберем похожие члены: \[ x \cdot K - x \cdot B + 25B - 25K - (25-x)K = 1313 \] \[ xK - xB + 25B - 25K - 25K + xK = 1313 \] Упрощая, получаем: \[ 2xK - xB + 25B - 50K = 1313 \] Собираем все члены с \( K \) и \( B \): \[ (2x - 50)K + (25 - x)B = 1313 \]

Теперь, чтобы найти возможные значения \( x \) (количества мальчиков), мы пробуем целочисленные решения в диапазоне от 0 до 25.

При \( x = 0 \) (такого количества мальчиков нет), у нас не получится положительное количество девочек: \[ (0 - 50)K + (25 - 0)B = 1313 \Rightarrow -50K + 25B = 1313 \] При \( x = 25 \) (девочек нет), также получаем: \[ (2 \cdot 25 - 50)K + (25 - 25)B = 1313 \Rightarrow 0K + 0B = 1313 \, \text{(невозможное равенство)} \]

После подбора, мы можем попробовать значения от 1 до 24.

При подстановке различных значений для \( x \) и учитывая что \( B > K \), мы можем найти подходящие значения \( x \), где будет исполнено уравнение.

После проверки каждого значения, подбирая \( K \) и \( B \), мы приходим к тому, что когда \( x = 13 \), мы можем найти такое решение, которое удовлетворяет условию. Проверив другие значения, мы можем найти, что также подходят 12 и 14.

Поэтому возможные количества мальчиков в лагере: 12, 13, 14.