Задача: Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=2x³+6x³-18x+7 на отрезке [-4;3]
Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции \( y = 2x^3 + 6x^2 - 18x + 7 \) на отрезке \([-4; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти производную функции: Производная функции \( y \): \[ y' = 6x^2 + 12x - 18 \]
Найти критические точки: Установим производную равной нулю и решим уравнение: \[ 6x^2 + 12x - 18 = 0 \] Упростим уравнение, разделив все его части на 6: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Это дает два корня: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -3 \]
Определить значения функции на концах интервала и в критических точках: Теперь необходимо найти значения функции в точках \(-4\), \(-3\), \(1\) и \(3\):
- Для \( x = -4 \): \[ y(-4) = 2(-4)^3 + 6(-4)^2 - 18(-4) + 7 = 2(-64) + 6(16) + 72 + 7 = -128 + 96 + 72 + 7 = 47 \]
- Для \( x = -3 \): \[ y(-3) = 2(-3)^3 + 6(-3)^2 - 18(-3) + 7 = 2(-27) + 6(9) + 54 + 7 = -54 + 54 + 54 + 7 = 7 \]
- Для \( x = 1 \): \[ y(1) = 2(1)^3 + 6(1)^2 - 18(1) + 7 = 2 + 6 - 18 + 7 = -3 \]
- Для \( x = 3 \): \[ y(3) = 2(3)^3 + 6(3)^2 - 18(3) + 7 = 2(27) + 6(9) - 54 + 7 = 54 + 54 - 54 + 7 = 61 \]
Сравнить все значения: Мы получили значения функции в следующих точках:
- \( y(-4) = 47 \)
- \( y(-3) = 7 \)
- \( y(1) = -3 \)
- \( y(3) = 61 \)
Определить наименьшее и наибольшее значение: Наименьшее значение функции на отрезке \([-4; 3]\) равно \(-3\) (в точке \(x = 1\)), а наибольшее значение равно \(61\) (в точке \(x = 3\)).
Итак, наименьшее значение функции \( y \) на отрезке \([-4; 3]\) равно \(-3\), а наибольшее значение равно \(61\).
