Три круга радиусами 1,2 и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 1 и радиусом 2 касаются в точке А, а круги радиусом 2 и радиусом 3 - в точке В. Найдите…

Для решения задачи рассмотрим, как расположены три круга радиусами 1, 2 и 3, попарно касающиеся друг друга внешним образом. Обозначим радиусы кругов как R1 = 1, R2 = 2 и R3 = 3.

1. Расположение кругов: Круги можно расположить в системе координат следующим образом:

   • Круг радиуса 1 (круг 1) будет находиться в точке (1, 0).
   • Круг радиуса 2 (круг 2) будет находиться в точке (0, 0).
   • Круг радиуса 3 (круг 3) будет находиться в точке (0, 5), так как его радиус равен 3, и он должен касаться круга радиуса 2, который находится в начале координат.

2. Координаты точек касания:

   • Точка A (касание кругов радиусов 1 и 2) будет находиться на линии, соединяющей центры этих кругов. Так как круг 1 находится в точке (1,0) и круг 2 в (0,0), точка A находится в координатах (1-1,0) = (0.5,0).
   • Точка B (касание кругов радиусов 2 и 3) будет находиться на границе между кругом 2 в (0,0) и кругом 3 в (0,5). Здесь, можно использовать закон о пропорциях. Дистанция между центрами кругов радиуса 2 и радиуса 3 равна 2 + 3 = 5. Точка B более точно будет находиться на линии на уровне y=2.5, поскольку 2.5 является 2/5 от полного расстояния между центрами (0,0) и (0,5). Точнее точка B в координатах (0, 2.5).

3. Расстояние AB: Теперь мы можем вычислить расстояние AB между точками A и B. \[ A(0.5, 0) \quad и \quad B(0, 2.5) \] Применим формулу расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим значения: \[ d = \sqrt{(0 - 0.5)^2 + (2.5 - 0)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (2.5)^2} = \sqrt{0.25 + 6.25} = \sqrt{6.5} \]

4. Умножаем полученное расстояние на корень из 5: \[ d \cdot \sqrt{5} = \sqrt{6.5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{32.5} = \sqrt{25 * 1.3} = 5 \sqrt{1.3} \]

Итак, окончательный ответ: \[ \sqrt{32.5} \]