В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки - в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики - наоборот, в бассейн. Оказалось, что в первый день за все виды досуга было заплачено на 1313 рублей больше, чем во второй день. Известно, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино. Сколько в лагере мальчиков? Укажите Укажите все подходящие варианты.

Давайте обозначим количество мальчиков в лагере как \( m \), а количество девочек как \( d \). Из условия задачи мы знаем, что общее количество детей составляет 25, поэтому можно записать:

\[ m + d = 25 \]

В первый день мальчики пошли в кино (пусть билет стоит \( x \) рублей), а девочки - в бассейн (пусть посещение бассейна стоит \( y \) рублей). Тогда сумма затрат в первый день составит:

\[ m \cdot x + d \cdot y \]

Во второй день вся группа поменялась местами: девочки ходили в кино, а мальчики в бассейн. Это означает, что сумма затрат во второй день будет:

\[ d \cdot x + m \cdot y \]

Согласно условию задачи, сумма затрат в первый день была на 1313 рублей больше, чем во второй день:

\[ m \cdot x + d \cdot y = d \cdot x + m \cdot y + 1313 \]

Теперь упростим уравнение:

\[ m \cdot x + d \cdot y - d \cdot x - m \cdot y = 1313 \]

Это можно переписать как:

\[ (m - d) \cdot x + (d - m) \cdot y = 1313 \]

Объединив подобные слагаемые, получим:

\[ (m - d) \cdot (x - y) = 1313 \]

Учитывая, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино, то \( y > x \) и \( (x - y) < 0 \). Поэтому:

\[ (m - d) < 0 \]

Это означает, что мальчиков в лагере меньше, чем девочек.

Согласно уравнению \( m + d = 25 \), можем выразить количество мальчиков через количество девочек:

\[ m = 25 - d \]

Подставим \( m \) в уравнение \( (m - d) \cdot (x - y) = 1313 \):

\[ (25 - d - d) \cdot (x - y) = 1313 \] \[ (25 - 2d) \cdot (x - y) = 1313 \]

Поскольку \( x < y \), \( (x - y) \) будет отрицательным, следовательно:

\[ (25 - 2d) \cdot (-|x - y|) = 1313. \]

Теперь, чтобы найти подходящие значения для \( d \) и, следовательно, для \( m \), нам нужно, чтобы выражение \( 25 - 2d \) было отрицательным, если \( -|x - y| \) делится на \( 1313 \).

Определим, что \( d = 12, 13, \ldots, 24 \) дает нам:

• Если \( d = 12 \), то \( m = 13; 25 - 2 \cdot 12 = 1 \).
• Если \( d = 13 \), то \( m = 12; 25 - 2 \cdot 13 = -1 \), что невозможно.
• Если \( d = 14 \), то \( m = 11; 25 - 2 \cdot 14 = -3 \), что невозможно и т.д.

Поэтому корректные значения, при которых \( m \) может быть положительным, находятся только в диапазоне:

1. У мальчиков, когда \( 25 - 2d > 0 \),
2. Значит, \( d < 12.5 \),

Тогда мальчиков в лагере может быть:

• 11 (девочек 14)
• 12 (девочек 13)
• 13 (девочек 12),

Таким образом, количество мальчиков \( m \) может равняться 11, 12 или 13.