Сколько существует различных символьных последовательностей длины 5 в трёхбуквенном алфавите {К, О, Т}, которые содержат ровно две буквы О?

Чтобы найти количество различных символьных последовательностей длины 5 в трёхбуквенном алфавите {К, О, Т}, которые содержат ровно две буквы О, давайте разберем задачу по шагам.

1. Выбор мест для букв О: Нам нужно выбрать 2 позиции из 5 для букв О. Это можно сделать с помощью комбинаций. Количество способов выбрать 2 позиции из 5 вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] где \(n\) - общее количество позиций, а \(k\) - количество позиций, которые мы выбираем. В нашем случае \(n=5\) и \(k=2\): \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

2. Заполнение оставшихся позиций: После того как мы разместили две буквы О, у нас остаются 3 позиции, которые нужно заполнить буквами К и Т. Поскольку мы можем использовать буквы К и Т для заполнения этих позиций, каждая из 3 оставшихся позиций может быть либо К, либо Т. Это значит, что количество возможных комбинаций для 3 позиций равно: \[ 2^3 = 8 \]

3. Общее количество последовательностей: Теперь мы можем умножить количество способов выбрать позиции для букв О на количество способов заполнить оставшиеся позиции: \[ 10 \times 8 = 80 \]

Таким образом, существует 80 различных символьных последовательностей длины 5 в алфавите {К, О, Т}, которые содержат ровно две буквы О.