Имеется 10 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…

Для решения этой задачи рассмотрим, что в каждой коробке содержится по одному синему и одному красному шару, то есть, в минимальном случае в каждой коробке по два шара.

Пусть в коробке \(i\) будет \(b_i\) синих и \(r_i\) красных шариков. Тогда разница между их количеством в каждой коробке определяется как \( |b_i - r_i| \). Для того чтобы разница была разной в каждой из десяти коробок, и чтобы эта разница была минимально возможной, можно обозначить разницы как числа от 1 до 10.

Таким образом, в каждой коробке \(i\) должно выполняться следующее условие:

1. Если разница \( |b_i - r_i| = d_i \) для \(i = 1, 2, ..., 10\), где \(d_i\) - это число от 1 до 10, то можно выразить \(b_i\) и \(r_i\) как:
   • \( b_i = r_i + d_i \) (если \(b_i\) больше)
   • \( r_i = b_i + d_i \) (если \(r_i\) больше)

Рассмотрим первый способ. Мы можем задать красные шары в каждой коробке равными 1. Тогда количество синих шаров будет:

• Для \(d_1 = 1\): \(r_1=1, b_1=2\) (разница 1)
• Для \(d_2 = 2\): \(r_2=1, b_2=3\) (разница 2)
• Для \(d_3 = 3\): \(r_3=1, b_3=4\) (разница 3)
• Для \(d_4 = 4\): \(r_4=1, b_4=5\) (разница 4)
• Для \(d_5 = 5\): \(r_5=1, b_5=6\) (разница 5)
• Для \(d_6 = 6\): \(r_6=1, b_6=7\) (разница 6)
• Для \(d_7 = 7\): \(r_7=1, b_7=8\) (разница 7)
• Для \(d_8 = 8\): \(r_8=1, b_8=9\) (разница 8)
• Для \(d_9 = 9\): \(r_9=1, b_9=10\) (разница 9)
• Для \(d_{10} = 10\): \(r_{10}=1, b_{10}=11\) (разница 10)

Теперь посчитаем общее количество шаров:

\[ \text{Общее количество} = (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) + 10 = 55 + 10 = 65, \]

где 55 — это сумма всех красных шаров, а 10 — это количество красных шаров в каждой коробке (по 1 шарику).

Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках равно 65.