Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…

Давайте рассмотрим задачу подробнее. У нас есть 8 коробок, и в каждой из них как минимум один синий, так и один красный шарик. Пусть в i-й коробке количество синих шариков обозначается \( b_i \), а количество красных — \( r_i \). Разница между количеством шариков разных цветов в каждой коробке определяется как \( |b_i - r_i| \).

Коля записал 8 различных чисел (разницы) на коробках, поэтому эти разницы должны быть от 1 до 8, ведь для 8 коробок можно использовать 8 различных значений разницы.

Каждая разница \( |b_i - r_i| = d \) должна соответствовать соотношению между количеством шариков. Если \( b_i > r_i \), то \( d = b_i - r_i \) и, соответственно, \( b_i = r_i + d \). Если \( r_i > b_i \), то \( d = r_i - b_i \) и \( r_i = b_i + d \).

Предположим, что мы будем использовать разницы от 1 до 8:

1. Для \( d_1 = 1 \): \( b_1 = 2 \), \( r_1 = 1 \) (или наоборот) — всего 3 шарика.
2. Для \( d_2 = 2 \): \( b_2 = 3 \), \( r_2 = 1 \) (или наоборот) — всего 4 шарика.
3. Для \( d_3 = 3 \): \( b_3 = 4 \), \( r_3 = 1 \) (или наоборот) — всего 5 шарика.
4. Для \( d_4 = 4 \): \( b_4 = 5 \), \( r_4 = 1 \) (или наоборот) — всего 6 шариков.
5. Для \( d_5 = 5 \): \( b_5 = 6 \), \( r_5 = 1 \) (или наоборот) — всего 7 шариков.
6. Для \( d_6 = 6 \): \( b_6 = 7 \), \( r_6 = 1 \) (или наоборот) — всего 8 шариков.
7. Для \( d_7 = 7 \): \( b_7 = 8 \), \( r_7 = 1 \) (или наоборот) — всего 9 шариков.
8. Для \( d_8 = 8 \): \( b_8 = 9 \), \( r_8 = 1 \) (или наоборот) — всего 10 шариков.

Теперь давайте подсчитаем общее количество шариков:

\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 52. \]

Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках, чтобы удовлетворить условиям задачи, равно 52.