(2x²+3)²-12(2x²+3)+11=0
Для решения уравнения \((2x²+3)²-12(2x²+3)+11=0\) давайте начнем с замены переменной. Обозначим \(y = 2x² + 3\). Тогда уравнение примет вид:
\[ y² - 12y + 11 = 0 \]
Теперь нам нужно решить квадратичное уравнение \(y² - 12y + 11 = 0\). Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -12\), \(c = 11\). Подставим эти значения в формулу:
Найдем дискриминант \(D\): \[ D = b² - 4ac = (-12)² - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней: \[ y = \frac{12 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 10}{2} \]
Это дает нам два значения для \(y\):
- \(y_1 = \frac{22}{2} = 11\)
- \(y_2 = \frac{2}{2} = 1\)
Теперь вернемся к нашей замене \(y = 2x² + 3\):
Для \(y_1 = 11\): \[ 2x² + 3 = 11 \quad \Rightarrow \quad 2x² = 8 \quad \Rightarrow \quad x² = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]
Для \(y_2 = 1\): \[ 2x² + 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x² = -2 \] Поскольку \(x²\) не может быть отрицательным, корней для этого случая нет.
Итак, обобщая все вышеописанное, получаем, что у уравнения \((2x²+3)²-12(2x²+3)+11=0\) есть два действительных корня: \[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -2. \]
