Из бумаги вырезали прямоугольник 15 х 12 см, после чего расчертили его линиями под 45° и закрасили серым область, как показано на рисунке. Найдите площадь серой области. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Чтобы найти площадь серой области, нужно обратить внимание на фигуру, которую мы получили, разрезая прямоугольник. Разделим этот прямоугольник на треугольники.

1. Определим размер прямоугольника:

   • Длина = 15 см
   • Ширина = 12 см

2. Площадь прямоугольника: Формула для площади прямоугольника: \[ P = d \times w = 15 \, \text{см} \times 12 \, \text{см} = 180 \, \text{см}^2 \]

3. Нарисуем линии под углом 45°: Если линии проведены через каждую из вершин прямоугольника, они будут разбивать его на равные треугольники.

4. Определим количество треугольников: Прямоугольник разделится на 8 треугольников (4 малых треугольника по углам).

5. Площадь серой области: Поскольку серые области располагаются в каждом углу между линиями 45°, мы можем заметить, что они образуют угол 45° и образуют равнобедренные треугольники.

   Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле: \[ P = \frac{1}{2} \times h \times b \] Где h — высота треугольника, а b — основание.

   В данном случае высота треугольника равна 12 см, а основание — 15 см. Поэтому: Для одного треугольника: \[ P_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 12 \times 7.5 = 45 \, \text{см}^2 \]

6. Итоговая площадь: Поскольку серых треугольников 4, то площадь серой области составит: \[ P_{\text{серой}} = 4 \times P_{\text{треугольника}} = 4 \times 45 = 180 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь серой области равна 180 квадратных сантиметров.