Решитe неравенство: х(х-3)(х+4)(х-7)≤0

Чтобы решить неравенство \( x(x - 3)(x + 4)(x - 7) \leq 0 \), следуем следующим шагам:

1. Найти корни равенства: Сначала найдём корни уравнения \( x(x - 3)(x + 4)(x - 7) = 0 \). Это происходит, когда один из множителей равен нулю:

   • \( x = 0 \)
   • \( x - 3 = 0 \) ⇒ \( x = 3 \)
   • \( x + 4 = 0 \) ⇒ \( x = -4 \)
   • \( x - 7 = 0 \) ⇒ \( x = 7 \)

   Таким образом, корни: \( x = -4, 0, 3, 7 \).

2. Определить интервалы: Теперь у нас есть 4 корня. Эти корни делят числовую прямую на 5 интервалов:

   • \( (-\infty, -4) \)
   • \( (-4, 0) \)
   • \( (0, 3) \)
   • \( (3, 7) \)
   • \( (7, +\infty) \)

3. Проверить знак на каждом интервале: Выберем тестовые значения из каждого интервала, чтобы определить знак выражения.

   • Для интервала \( (-\infty, -4) \), например, \( x = -5 \): \[ -5(-5-3)(-5+4)(-5-7) = -5(-8)(-1)(-12) > 0 \]

   • Для интервала \( (-4, 0) \), например, \( x = -2 \): \[ -2(-2-3)(-2+4)(-2-7) = -2(-5)(2)(-9) > 0 \]

   • Для интервала \( (0, 3) \), например, \( x = 1 \): \[ 1(1-3)(1+4)(1-7) = 1(-2)(5)(-6) > 0 \]

   • Для интервала \( (3, 7) \), например, \( x = 5 \): \[ 5(5-3)(5+4)(5-7) = 5(2)(9)(-2) < 0 \]

   • Для интервала \( (7, +\infty) \), например, \( x = 8 \): \[ 8(8-3)(8+4)(8-7) = 8(5)(12)(1) > 0 \]

4. Собрать результаты: Теперь мы знаем, что:

   • На интервалах \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 0) \), \( (0, 3) \) и \( (7, +\infty) \) функция положительна.
   • На интервале \( (3, 7) \) функция отрицательна.

5. Определить знак неравенства: Поскольку мы ищем, где \( x(x - 3)(x + 4)(x - 7) \leq 0 \), мы включаем значения, где функция равна нулю и отрицательна:

   • Нули: \( -4, 0, 3, 7 \) (включаем все).
   • Отрицательный интервал: \( (3, 7) \).

6. Записать ответ: Решение неравенства: \[ x \in [-4, 0] \cup [3, 7] \]

Таким образом, ответ: \( x \in [-4, 0] \cup [3, 7] \).