Решитe неравенство: х(х-3)(х+4)(х-7)≤0

Чтобы решить неравенство \(x(x-3)(x+4)(x-7) \leq 0\), следуем по шагам.

1. Найдем нули функции: Нужно приравнять каждое из множителей к нулю:

   • \(x = 0\)
   • \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
   • \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
   • \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)

   Таким образом, нули функции: \(x = -4, 0, 3, 7\).

2. Определим интервалы: Нули разбивают числовую прямую на следующие интервалы:

   • \((-∞, -4)\)
   • \((-4, 0)\)
   • \((0, 3)\)
   • \((3, 7)\)
   • \((7, +∞)\)

3. Проверим знак функции на каждом из интервалов: Для этого можно выбрать произвольные точки из каждого интервала и подставить их в выражение \(x(x-3)(x+4)(x-7)\).

   • Интервал \((-∞, -4)\): возьмем \(x = -5\) \[(-5)(-5-3)(-5+4)(-5-7) = (-5)(-8)(-1)(-12) > 0\]

   • Интервал \((-4, 0)\): возьмем \(x = -1\) \[(-1)(-1-3)(-1+4)(-1-7) = (-1)(-4)(3)(-8) > 0\]

   • Интервал \((0, 3)\): возьмем \(x = 1\) \[(1)(1-3)(1+4)(1-7) = (1)(-2)(5)(-6) > 0\]

   • Интервал \((3, 7)\): возьмем \(x = 5\) \[(5)(5-3)(5+4)(5-7) = (5)(2)(9)(-2) < 0\]

   • Интервал \((7, +∞)\): возьмем \(x = 8\) \[(8)(8-3)(8+4)(8-7) = (8)(5)(12)(1) > 0\]

4. Соберем результаты: Полученные интервалы со знаком:

   • \( (-∞, -4) \) — положительный
   • \( (-4, 0) \) — положительный
   • \( (0, 3) \) — положительный
   • \( (3, 7) \) — отрицательный
   • \( (7, +∞) \) — положительный

5. Теперь определим, где функция меньше или равна нулю: Исходя из анализа, функция \(x(x-3)(x+4)(x-7)\) принимает значения меньше или равные нулю на интервале \([3, 7]\) и в точках, где функция равна нулю:

   • \(x = 3\)
   • \(x = 7\)

6. Запишем окончательный ответ: Решением неравенства \(x(x-3)(x+4)(x-7) \leq 0\) являются значения: \[x \in [3, 7].\]