Имеется 10 коробок, в каждую из них положили синии и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы одна синия и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке (есть они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. Оказалось что было написано 10 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках?
Для решения этой задачи давайте проанализируем условия более подробно.
У нас есть 10 коробок, и в каждой коробке есть хотя бы один синий и один красный шарик. Пусть в i-й коробке количество синих шариков обозначается как \(b_i\), а красных — как \(r_i\). Разность между количеством шариков разного цвета в каждой коробке можно выразить как \(|b_i - r_i|\). Важно, что это значение должно быть различным для всех 10 коробок.
Поскольку в каждой коробке хотя бы один синий и один красный шарик, минимальная разность \(|b_i - r_i|\) будет равна 1, при условии, что одно количество шариков на единицу больше другого (например, 1 синий и 2 красных, или 2 синих и 1 красный).
Таким образом, для каждой коробки разность может принимать следующие значения: 1, 2, 3, ..., 10. Это означает, что мы можем задать разности для коробок как последовательность от 1 до 10. В этом случае:
- В первой коробке \(|b_1 - r_1| = 1\)
- Во второй \(|b_2 - r_2| = 2\)
- В третьей \(|b_3 - r_3| = 3\)
- И так далее, до десятой коробки, где \(|b_{10} - r_{10}| = 10\)
Теперь давайте рассмотрим минимально возможные значения для каждого из случаев:
- Для \(|b_1 - r_1| = 1\) подойдет 1 синий и 2 красных (или наоборот) — итого 3 шарика.
- Для \(|b_2 - r_2| = 2\) можем взять 2 синих и 4 красных (или наоборот) — итого 6 шариков.
- Для \(|b_3 - r_3| = 3\) будет 3 синих и 6 красных (или наоборот) — итого 9 шариков.
- Для \(|b_4 - r_4| = 4\) нужно 4 синих и 8 красных (или наоборот) — всего 12 шариков.
- Для \(|b_5 - r_5| = 5\) будет 5 синих и 10 красных (или наоборот) — итого 15 шариков.
- Для \(|b_6 - r_6| = 6\) — 6 синих и 12 красных (или наоборот) — всего 18 шариков.
- Для \(|b_7 - r_7| = 7\) — 7 синих и 14 красных — итого 21 шарик.
- Для \(|b_8 - r_8| = 8\) — 8 синих и 16 красных — всего 24 шара.
- Для \(|b_9 - r_9| = 9\) — 9 синих и 18 красных — итого 27 шариков.
- Для \(|b_{10} - r_{10}| = 10\) — 10 синих и 20 красных — всего 30 шариков.
Теперь давайте найдём сумму:
\[ 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 3 \cdot 55 = 165 \]
Таким образом, минимальное количество шариков, которое может лежать суммарно во всех коробках, составляет 165 шариков.
